Demonstre que
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{d})=\left|\begin{array}{ll} \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade abaixo para vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d} (assumidos em \mathbb{R}^3):
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{d})=\left|\begin{array}{ll} \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} \end{array}\right|
Informações dadas/implícitas:
  • Existem os produtos vetoriais \times e escalar \cdot entre vetores em \mathbb{R}^3.
  • Pede-se provar que o produto escalar entre dois vetoriais formados por produtos vetoriais é igual ao determinante 2\times2 formado por certos produtos escalares entre \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}.

Passo 2

Vamos recordar duas propriedades úteis e o que elas significam (a seguir vou ensinar e usar cada uma com calma).
Definição e propriedade do produto escalar triplo (produto misto):
  • Para quaisquer vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} em \mathbb{R}^3, a quantidade
\mathbf{x}\cdot(\mathbf{y}\times\mathbf{z})
é chamada produto escalar triplo (ou produto misto). Geometricamente, dá o volume (com sinal) do paralelepípedo gerado por \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}.
  • Essa expressão é invariante por permutações cíclicas. Em símbolos:
\mathbf{x}\cdot(\mathbf{y}\times\mathbf{z})=\mathbf{y}\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{x})=\mathbf{z}\cdot(\mathbf{x}\times\mathbf{y}).
Isto é útil para permutar a ordem quando quisermos escrever um produto misto de formas diferentes.
Vou usar essa propriedade para reescrever expressões do tipo (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) como produto misto adequado.

Passo 3

Apresento agora a identidade do produto vetorial triplo (que será usada em seguida) e dou uma prova curta e direta.
Identidade (produto vetorial triplo):
\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z})=\mathbf{y}\,(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z})-\mathbf{z}\,(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}).
O que isto diz em palavras: o vetor \mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) é combinação linear de \mathbf{y} e \mathbf{z}, com coeficientes os produtos escalares indicados.
Demonstração (componente/índice, de forma direta e breve):
  • Use a notação de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e delta de Kronecker \delta_{ij}. Lembre que \varepsilon_{ijk} vale +1 ou -1 para permutações pares/ímpares de (1,2,3) e 0 se houver componentes repetidas; e \delta_{ij}=1 se i=j, senão 0.
  • As componentes do lado esquerdo são
\big(\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z})\big)_i=\varepsilon_{ijk}x_j(\mathbf{y}\times\mathbf{z})_k =\varepsilon_{ijk}x_j\varepsilon_{klm}y_l z_m.
  • Use a identidade (padrão) para produtos de dois \varepsilon:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
  • Substituindo,
\big(\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z})\big)_i =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})x_j y_l z_m = y_i (x_j z_j) - z_i (x_j y_j).
  • Reconhecendo somas escalares x_j z_j=\mathbf{x}\cdot\mathbf{z} e x_j y_j=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, obtemos exatamente
\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z})=\mathbf{y}\,(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z})-\mathbf{z}\,(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}).
Essa é a identidade que vamos aplicar. Se ficou meio técnico com índices, o importante a lembrar é o formato final: um produto vetorial duplo vira uma combinação linear dos vetores do meio com coeficientes formados por produtos escalares.

Passo 4

Agora manipule a expressão original usando a propriedade cíclica do produto escalar triplo (Passo 2) para colocá-la numa forma onde possamos aplicar a identidade do Passo 3.
Começamos com
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}).
Visto como produto misto, use a invariância cíclica para mover os fatores:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = \mathbf{c}\cdot\big(\mathbf{d}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big).
Aqui usei a propriedade \mathbf{p}\cdot(\mathbf{q}\times\mathbf{r})=\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) com \mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, \mathbf{q}=\mathbf{c}, \mathbf{r}=\mathbf{d}.

Passo 5

Aplique a identidade do produto vetorial triplo do Passo 3 ao vetor \mathbf{d}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Tomando \mathbf{x}=\mathbf{d}, \mathbf{y}=\mathbf{a}, \mathbf{z}=\mathbf{b} na identidade,
\mathbf{d}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{a}\,(\mathbf{d}\cdot\mathbf{b})-\mathbf{b}\,(\mathbf{d}\cdot\mathbf{a}).
Substitua isso na expressão do Passo 4:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) = \mathbf{c}\cdot\big(\mathbf{a}\,(\mathbf{d}\cdot\mathbf{b})-\mathbf{b}\,(\mathbf{d}\cdot\mathbf{a})\big).

Passo 6

Agora distribua o produto escalar e reorganize os termos, lembrando que produto escalar é linear e comutativo nas entradas:
\begin{aligned} (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) &= (\mathbf{d}\cdot\mathbf{b})\,(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) - (\mathbf{d}\cdot\mathbf{a})\,(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\\[4pt] &= (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\,(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})\,(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}). \end{aligned}
No segundo passo, apenas reordenei fatores escalares (por exemplo \mathbf{d}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) e reorganizei para ficar no formato mais familiar.
Observe que a expressão do lado direito é exatamente o determinante 2\times2 pedido:
\left|\begin{array}{ll} \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} \end{array}\right| = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).]

Resposta

(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{d})=\left|\begin{array}{ll} \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \\\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{d} & \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} \end{array}\right|

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