Existem os produtos vetoriais \times e escalar \cdot entre vetores em \mathbb{R}^3.
Pede-se provar que o produto escalar entre dois vetoriais formados por produtos vetoriais é igual ao determinante 2\times2 formado por certos produtos escalares entre \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}.
Passo 2
Vamos recordar duas propriedades úteis e o que elas significam (a seguir vou ensinar e usar cada uma com calma).
Definição e propriedade do produto escalar triplo (produto misto):
Para quaisquer vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} em \mathbb{R}^3, a quantidade
\mathbf{x}\cdot(\mathbf{y}\times\mathbf{z})
é chamada produto escalar triplo (ou produto misto). Geometricamente, dá o volume (com sinal) do paralelepípedo gerado por \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}.
Essa expressão é invariante por permutações cíclicas. Em símbolos:
Isto é útil para permutar a ordem quando quisermos escrever um produto misto de formas diferentes.
Vou usar essa propriedade para reescrever expressões do tipo (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}) como produto misto adequado.
Passo 3
Apresento agora a identidade do produto vetorial triplo (que será usada em seguida) e dou uma prova curta e direta.
O que isto diz em palavras: o vetor \mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) é combinação linear de \mathbf{y} e \mathbf{z}, com coeficientes os produtos escalares indicados.
Demonstração (componente/índice, de forma direta e breve):
Use a notação de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e delta de Kronecker \delta_{ij}. Lembre que \varepsilon_{ijk} vale +1 ou -1 para permutações pares/ímpares de (1,2,3) e 0 se houver componentes repetidas; e \delta_{ij}=1 se i=j, senão 0.
Essa é a identidade que vamos aplicar. Se ficou meio técnico com índices, o importante a lembrar é o formato final: um produto vetorial duplo vira uma combinação linear dos vetores do meio com coeficientes formados por produtos escalares.
Passo 4
Agora manipule a expressão original usando a propriedade cíclica do produto escalar triplo (Passo 2) para colocá-la numa forma onde possamos aplicar a identidade do Passo 3.
Aqui usei a propriedade \mathbf{p}\cdot(\mathbf{q}\times\mathbf{r})=\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p}) com \mathbf{p}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, \mathbf{q}=\mathbf{c}, \mathbf{r}=\mathbf{d}.
Passo 5
Aplique a identidade do produto vetorial triplo do Passo 3 ao vetor \mathbf{d}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Tomando \mathbf{x}=\mathbf{d}, \mathbf{y}=\mathbf{a}, \mathbf{z}=\mathbf{b} na identidade,
No segundo passo, apenas reordenei fatores escalares (por exemplo \mathbf{d}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) e reorganizei para ficar no formato mais familiar.
Observe que a expressão do lado direito é exatamente o determinante 2\times2 pedido: