- Sejam
e
vetores de comprimentos iguais à área das faces opostas aos vértices
e
, respectivamente, e direções perpendiculares às respectivas faces e apontando para fora do tetraedro. Mostre que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Há um tetraedro com vértices
. - Para cada vértice é dada a face oposta; às faces opostas aos vértices
correspondem vetores , respectivamente. - Cada
tem magnitude igual à área da face oposta ao vértice correspondente, tem direção normal à face e aponta para fora do tetraedro. - O problema pede para mostrar que
Passo 2
Entender o que significa cada
.
Para uma face plana qualquer definimos o vetor área (ou vetor normal de área) como
Para uma face plana qualquer definimos o vetor área (ou vetor normal de área) como
onde
é a área da face e
é o versor normal exterior à superfície. Assim, cada
é exatamente o vetor área da face
. Em outras palavras,
representa a contribuição orientada da face
ao “fluxo” de uma unidade de campo normal através da superfície fechada.
Passo 3
Vamos usar um resultado elementar do cálculo vetorial (o Teorema da Divergência) numa forma muito simples e didática. Primeiro explico a versão que usarei:
- Seja
um volume limitado por uma superfície fechada e seja um campo vetorial suficientemente suave. O Teorema da Divergência diz que
onde
é o versor normal exterior em cada ponto da superfície,
é o elemento de área da superfície e
é a divergência de
.
Explicando em palavras: a integral de fluxo de
através da superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre todo o volume interior. Para nós,
será a superfície do tetraedro e
o volume do tetraedro.
Passo 4
Escolha do campo vetorial e cálculo da divergência. Pegue um campo constante arbitrário
, onde
é um vetor constante (por exemplo
). Para um campo constante vale
porque as derivadas parciais das componentes constantes são zero. Logo, aplicando o Teorema da Divergência ao volume do tetraedro obtemos
Passo 5
Passar da integral à soma dos vetores áreas. A integral de superfície pode ser escrita somando as contribuições de cada face plana do tetraedro. Se as quatro faces têm vetores área
(cada
já é a integral
, porque a normal é constante sobre cada face plana), então
Pelo Resultado do Passo 4 essa integral vale
, então
Passo 6
Como
era um vetor constante arbitrário, a igualdade anterior implica que o vetor
é ortogonal a todo vetor
. O único vetor ortogonal a todo vetor em
é o vetor nulo. Portanto