1. Sejam \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} e \mathbf{v}_{4} vetores de comprimentos iguais à área das faces opostas aos vértices P, Q, R e S, respectivamente, e direções perpendiculares às respectivas faces e apontando para fora do tetraedro. Mostre que
\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}+\mathbf{v}_{4}=\mathbf{0}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há um tetraedro com vértices P,Q,R,S.
  • Para cada vértice é dada a face oposta; às faces opostas aos vértices P,Q,R,S correspondem vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}, respectivamente.
  • Cada \mathbf{v}_{i} tem magnitude igual à área da face oposta ao vértice correspondente, tem direção normal à face e aponta para fora do tetraedro.
  • O problema pede para mostrar que
\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}_{3}+\mathbf{v}_{4}=\mathbf{0}.

Passo 2

Entender o que significa cada \mathbf{v}_i.
Para uma face plana qualquer definimos o vetor área (ou vetor normal de área) como
\mathbf{a} = A\,\mathbf{n},
onde A é a área da face e \mathbf{n} é o versor normal exterior à superfície. Assim, cada \mathbf{v}_i é exatamente o vetor área da face i. Em outras palavras, \mathbf{v}_i representa a contribuição orientada da face i ao “fluxo” de uma unidade de campo normal através da superfície fechada.

Passo 3

Vamos usar um resultado elementar do cálculo vetorial (o Teorema da Divergência) numa forma muito simples e didática. Primeiro explico a versão que usarei:
  • Seja V um volume limitado por uma superfície fechada S e seja \mathbf{F}(\mathbf{x}) um campo vetorial suficientemente suave. O Teorema da Divergência diz que
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \mathbf{n} é o versor normal exterior em cada ponto da superfície, dS é o elemento de área da superfície e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}.
Explicando em palavras: a integral de fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada S é igual à integral da divergência de \mathbf{F} sobre todo o volume interior. Para nós, S será a superfície do tetraedro e V o volume do tetraedro.

Passo 4

Escolha do campo vetorial e cálculo da divergência. Pegue um campo constante arbitrário \mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{c}, onde \mathbf{c} é um vetor constante (por exemplo \mathbf{c}=(c_x,c_y,c_z)). Para um campo constante vale
\nabla\cdot\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{c}=0,
porque as derivadas parciais das componentes constantes são zero. Logo, aplicando o Teorema da Divergência ao volume do tetraedro obtemos
\iint_{S}\mathbf{c}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} 0\,dV = 0.

Passo 5

Passar da integral à soma dos vetores áreas. A integral de superfície pode ser escrita somando as contribuições de cada face plana do tetraedro. Se as quatro faces têm vetores área \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4} (cada \mathbf{v}_i já é a integral \int_{\text{face }i}\mathbf{n}\,dS, porque a normal é constante sobre cada face plana), então
\iint_{S}\mathbf{c}\cdot\mathbf{n}\,dS = \sum_{i=1}^{4} \mathbf{c}\cdot\left(\iint_{\text{face }i}\mathbf{n}\,dS\right) = \sum_{i=1}^{4} \mathbf{c}\cdot\mathbf{v}_i = \mathbf{c}\cdot\left(\sum_{i=1}^{4}\mathbf{v}_i\right).
Pelo Resultado do Passo 4 essa integral vale 0, então
\mathbf{c}\cdot\left(\sum_{i=1}^{4}\mathbf{v}_i\right)=0.

Passo 6

Como \mathbf{c} era um vetor constante arbitrário, a igualdade anterior implica que o vetor \sum_{i=1}^{4}\mathbf{v}_i é ortogonal a todo vetor \mathbf{c}. O único vetor ortogonal a todo vetor em \mathbb{R}^3 é o vetor nulo. Portanto
\sum_{i=1}^{4}\mathbf{v}_i=\mathbf{0}.

Resposta

\mathbf{0}

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