De exemplo de uma função definida em toda a reta, que seja contínua apenas em 0 e descontínua em todos os outros pontos. Em seguida, de exemplo de uma função definida em toda a reta, contínua em -1,0,1 e descontínua em todos os outros pontos. Você consegue construir uma função definida em toda a reta, contínua em um conjunto finito de pontos dados e descontínua em todo o resto? (A pergunta é se você consegue, não foi pedido para construir).

Passo 1

O enunciado pede duas construções:
  1. Uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua apenas em 0 e descontínua em todo x\neq0.
  2. Outra função g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua apenas em -1,0,1 e descontínua em todo x\notin\{-1,0,1\}.
    Em seguida, pergunta se é possível, em geral, construir uma função contínua precisamente em um conjunto finito arbitrário de pontos e descontínua nos demais.

Passo 2

Definimos a clássica variante da função de Dirichlet atenuada por x\): \[f(x)= \begin{cases} x, & x\in\mathbb{Q},\\\\ 0, & x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Mostramos agora que f\] é contínua somente em \(0.

Passo 3

– Em x=0, se x_n\to0 qualquer, então se x_n\in\mathbb{Q} temos f(x_n)=x_n\to0, e se x_n\notin\mathbb{Q} então f(x_n)=0. Logo \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0).
– Em x_0\neq0, consideramos duas sequências q_n\in\mathbb{Q} e r_n\notin\mathbb{Q} ambas convergindo a x_0. No ramo racional f(q_n)=q_n\to x_0, mas no ramo irracional f(r_n)=0\not\to x_0=f(x_0). Portanto \lim_{x\to x_0}f(x) não existe, e f é descontínua em x_0.

Passo 4

Para obter continuidade em -1,0,1 apenas, usamos produto de três cópias de f deslocadas:
g(x)=f(x+1)\;f(x)\;f(x-1).
– Em x=0, g(0)=f(1)\,f(0)\,f(-1)=1\cdot0\cdot(-1)=0. Como f(x)\to0 quando x\to0, temos f(x)\to0, enquanto f(x\pm1) ficam apenas limitadas. Então \lim_{x\to0}g(x)=0=g(0). Assim g é contínua em 0.
– Analogamente, em x=1 o fator dominante que tende a zero é f(x-1), e em x=-1 é f(x+1), garantindo continuidade nesses pontos.
– Para x_0\notin\{-1,0,1\}, nenhum dos fatores f(x+1), f(x), f(x-1) tende a um valor único (cada um é descontínuo no seu ponto de deslocamento). Logo o produto não tem limite bem–definido, e g é descontínua em x_0.

Passo 5

Em geral, dado um conjunto finito A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\subset\mathbb{R}, basta estender a ideia anterior e definir
h(x)=\prod_{i=1}^{n}f(x-a_i),
onde f é a função do Passo 2. Então:
  • Em x=a_i, o fator f(x-a_i)=f(0) força o produto a tender a 0 (o mesmo valor de h(a_i)), tornando h contínua em cada a_i.
  • Para x\notin A, todos os fatores são funções descontínuas em seus respectivos centros, de modo que o produto falha em ter limite, e h é descontínua.

Resposta

Exemplo 1:
f(x)= \begin{cases} x, & x\in\mathbb{Q},\\\\ 0, & x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
contínua apenas em 0.
Exemplo 2:
g(x)=f(x+1)\,f(x)\,f(x-1),
contínua apenas em -1,0,1.
E sim: para qualquer conjunto finito de pontos basta usar o produto \prod_{a\in A}f(x-a).

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