Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é descontínua.
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x \in \mathbb{Q}, \\\\ -x^{2}+1, & \text { se } x \notin \mathbb{Q} .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x\in\mathbb{Q},\\\\ -\,x^{2}+1, & \text{se }x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede o conjunto de pontos em que f é descontínua. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por casos, usando limites via densidade de \mathbb{Q} e de \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

Passo 2

Para testar a continuidade em a\in\mathbb{R}, lembramos que \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos em \mathbb{R}. Assim, ao aproximar x\to a por racionais,
f(x)\to a^{2}-1,
enquanto ao aproximar por irracionais,
f(x)\to -\,a^{2}+1.
Logo, o limite \lim_{x\to a}f(x) só existe se
a^{2}-1 \;=\;-\,a^{2}+1.

Passo 3

Resolvendo
a^{2}-1 = -\,a^{2}+1
temos
2\,a^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm1.
Portanto, só em a=1 ou a=-1 os limites pelas duas direções coincidem.

Passo 4

Verificamos a continuidade em a=\pm1. Como 1 e -1 são racionais,
f(\pm1) = (\pm1)^{2}-1 = 0.
E pelos cálculos de limite, tanto racionais quanto irracionais dão \lim_{x\to\pm1}f(x)=0. Assim
\lim_{x\to\pm1}f(x)=f(\pm1),
logo f é contínua em \pm1.

Passo 5

Para qualquer outro ponto a\neq\pm1, temos
a^{2}-1 \neq -\,a^{2}+1,
ou seja, o limite pela “via racional” difere do limite pela “via irracional”. Logo \lim_{x\to a}f(x) não existe e f é descontínua em todo a\neq\pm1.

Resposta

O conjunto de pontos de descontinuidade de f é
\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.

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