Seja f(x) uma função que não é definida em um ponto x_{0} \in \mathbb{R}. Uma função g(x) tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0} e tal que g(x) é contínua em x_{0} é dita uma extensão contínua de f em x_{0}. O ponto x_{0} também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se f(x) está definida em x_{0} e mesmo assim não é contínua em x_{0} e formos capazes de definir uma função g(x) contínua em x_{0} e tal que g(x)=f(x) se x \neq x_{0}, então x_{0} é chamado também de descontínuidade removível e g(x) de extensão contínua de f. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto x_{0}. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de f no ponto dado:
g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2} \quad em x_{0}=2

Passo 1

O enunciado define uma função g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2} que não está definida em x=2 e pede para encontrarmos uma extensão contínua em x_{0}=2. Esse procedimento corresponde a remover uma singularidade (ou descontinuidade removível) atribuindo ao ponto x=2 um valor que faça a função ficar contínua ali.

Passo 2

Para descobrir esse valor, fatoramos o numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Logo, para x\neq2,
g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.

Passo 3

Como em torno de x=2 a expressão é idêntica a x+2, temos
\lim_{x\to2}g(x)=\lim_{x\to2}(x+2)=4.

Passo 4

Para tornar g contínua em x=2, basta definir
g(2)=4,
já que esse é o valor do limite.

Resposta

A extensão contínua de g em x_{0}=2 é
g(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-4}{x-2},&x\neq2,\\[6pt] 4,&x=2. \end{cases}]

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