Seja
uma função que não é definida em um ponto
. Uma função
tal que
se
e tal que
é contínua em
é dita uma extensão contínua de
em
. O ponto
também é chamado de singularidade removível e, por um abuso de linguagem, também é chamado de descontínuadade removível. Se
está definida em
e mesmo assim não é contínua em
e formos capazes de definir uma função
contínua em
e tal que
se
, então
é chamado também de descontínuidade removível e
de extensão contínua de
. Note que em ambos os casos, podemos "concertar"a descontínuidade da função alterando ou inserindo um valor dela no ponto
. Nos itens a seguir, ache a extensão contínua de
no ponto dado:
em
Passo 1
O enunciado define uma função
que não está definida em
e pede para encontrarmos uma extensão contínua em
. Esse procedimento corresponde a remover uma singularidade (ou descontinuidade removível) atribuindo ao ponto
um valor que faça a função ficar contínua ali.
Passo 2
Para descobrir esse valor, fatoramos o numerador:
Logo, para
,
Passo 3
Como em torno de
a expressão é idêntica a
, temos
Passo 4
Para tornar
contínua em
, basta definir
já que esse é o valor do limite.
Resposta
A extensão contínua de
em
é