Dê um exemplo de função
tal que o limite
exista, mas
não seja contínua em
. Explique o porquê da descontinuidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Dar um exemplo de função
tal que exista. - Mostrar que, apesar disso,
não é contínua em e explicar por quê.
Informações relevantes que temos de atender:
- A existência do limite
significa que os valores de quando se aproxima de (por qualquer lado) tendem a um mesmo número finito. - A descontinuidade em
significa que a condição de continuidade em falha; lembre que, por definição, é contínua em se e somente se existe e é igual a .
Passo 2
Uma construção muito padrão (e simples) que atende ao pedido é criar uma função igual a uma expressão cujo limite em [2) exista, mas atribuir um valor diferente para
. Vou definir:
Explicação informal da escolha: para
, cuja análise de limite é trivial; no ponto
eu “mudo” o valor para
, criando uma possível descontinuidade.]
Passo 3
Calcular o limite
.
Para
temos
. A função
é polinomial (logo contínua) em todos os pontos, portanto o limite quando
é obtido por substituição direta:
Se quiser uma verificação
-
rápida: dado
, tomar
garante que, para
, tem-se
logo realmente
.
Passo 4
Verificar a continuidade em
usando a definição.
Definição:
é contínua em
se
existe e
.
Do passo anterior temos
. Mas pela definição da função temos
. Como
, a igualdade necessária para continuidade falha. Portanto
NÃO é contínua em
.
Classificação da descontinuidade: essa é uma descontinuidade removível — o limite existe (igual a
), mas o valor da função no ponto é outro. Se redefinirmos
a função fica contínua em
.
Passo 5
Resumo didático e dica para prova:
- Para construir exemplos em que o limite existe mas a função é descontínua, use funções que tenham um valor “errado” no ponto (ou seja, igual a uma expressão com limite
fora do ponto, e defina o valor do ponto como algo diferente de ). Isso gera uma descontinuidade removível e é a técnica mais direta. - Lembre-se da relação lógica: continuidade em
⇔ (limite em existe) e (igual a ). Portanto, para mostrar descontinuidade quando o limite existe, basta mostrar que é diferente do limite.