Dê um exemplo de função f tal que o limite \lim _{x \rightarrow 2} f(x) exista, mas f não seja contínua em x=2. Explique o porquê da descontinuidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Dar um exemplo de função f tal que \lim_{x\to 2} f(x) exista.
  • Mostrar que, apesar disso, f não é contínua em x=2 e explicar por quê.
Informações relevantes que temos de atender:
  • A existência do limite \lim_{x\to 2} f(x) significa que os valores de f(x) quando x se aproxima de 2 (por qualquer lado) tendem a um mesmo número finito.
  • A descontinuidade em x=2 significa que a condição de continuidade em 2 falha; lembre que, por definição, f é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).

Passo 2

Uma construção muito padrão (e simples) que atende ao pedido é criar uma função igual a uma expressão cujo limite em [2) exista, mas atribuir um valor diferente para f(2). Vou definir:
f(x)=\begin{cases} x+2, & x\ne 2,\\[4pt] 0, & x=2. \end{cases}
Explicação informal da escolha: para x\ne 2\] a função é a reta \(x+2, cuja análise de limite é trivial; no ponto x=2 eu “mudo” o valor para 0, criando uma possível descontinuidade.]

Passo 3

Calcular o limite \lim_{x\to 2} f(x).
Para x\ne 2 temos f(x)=x+2. A função x+2 é polinomial (logo contínua) em todos os pontos, portanto o limite quando x\to 2 é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x+2)=2+2=4.
Se quiser uma verificação \varepsilon- \delta rápida: dado \varepsilon>0, tomar \delta=\varepsilon garante que, para 0<|x-2|<\delta, tem-se
|f(x)-4|=|x+2-4|=|x-2|<\delta=\varepsilon,
logo realmente \lim_{x\to 2} f(x)=4.

Passo 4

Verificar a continuidade em x=2 usando a definição.
Definição: f é contínua em 2 se \lim_{x\to 2} f(x) existe e \lim_{x\to 2} f(x)=f(2).
Do passo anterior temos \lim_{x\to 2} f(x)=4. Mas pela definição da função temos f(2)=0. Como 4\ne 0, a igualdade necessária para continuidade falha. Portanto f NÃO é contínua em x=2.
Classificação da descontinuidade: essa é uma descontinuidade removível — o limite existe (igual a 4), mas o valor da função no ponto é outro. Se redefinirmos f(2)=4 a função fica contínua em 2.

Passo 5

Resumo didático e dica para prova:
  • Para construir exemplos em que o limite existe mas a função é descontínua, use funções que tenham um valor “errado” no ponto (ou seja, igual a uma expressão com limite L fora do ponto, e defina o valor do ponto como algo diferente de L). Isso gera uma descontinuidade removível e é a técnica mais direta.
  • Lembre-se da relação lógica: continuidade em a ⇔ (limite em a existe) e (igual a f(a)). Portanto, para mostrar descontinuidade quando o limite existe, basta mostrar que f(a) é diferente do limite.

Resposta

f(x)=\begin{cases} x+2, & x\ne 2,\\[4pt] 0, & x=2, \end{cases}
\lim_{x\to 2} f(x)=4,\qquad f(2)=0.]

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