Diferencie claramente:
limite que tende ao infinito (por exemplo, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty ).
Forneça um exemplo para cada item.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pedido: “Diferencie claramente: limite que tende ao infinito (por exemplo, \lim_{x\to a} f(x)=\infty). Forneça um exemplo para cada item.”
  • Interpretação do pedido (sem resolver ainda): mostrar, com definição e exemplos, as diferenças entre os tipos principais de limites envolvendo o símbolo \infty. Vou tratar pelo menos os seguintes itens, porque são os que normalmente geram confusão:
    1. o caso \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\infty (variável se aproxima de um ponto finito e o valor da função cresce sem limite — vertical assíntota típica);
    2. limites laterais que são infinitos, por exemplo \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty;
    3. o caso \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L com L finito (comportamento no infinito, assíntota horizontal);
    4. o caso \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty (função cresce sem limite quando x cresce).
  • O enunciado pede também um exemplo para cada item listado acima. Não vou pedir mais informações — vou explicar e dar exemplos completos e verificados.

Passo 2

Definição e significado de \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\infty (limite infinito em um ponto finito).
  • Definição formal (versão para +\infty): dizer que \lim_{x\to a} f(x)=+\inftysignifica o seguinte: para todo número real M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale f(x)>M.
    • Explicando em miúdos: dado qualquer número grande M (por exemplo M=10^6), é possível encontrar um intervalo pequeno ao redor de a (exceto o próprio a) onde todos os valores de f(x) ficam maiores que M. Assim f(x) cresce sem limite quando x se aproxima de a.
  • Interpretação geométrica: isso normalmente corresponde a uma curva que dispara para cima perto de x=a; a reta x=a costuma ser uma assíntota vertical (mas atenção: assíntota vertical se precisa verificar comportamento pelos dois lados).
  • Observação importante: escrever \lim_{x\to a} f(x)=\infty não significa que existe um número real limite — significa que a função diverge para +\infty. Em termos práticos, usamos esse símbolo para descrever o tipo de divergência.
Exemplo e verificação concreta:
  • Escolho a função f(x)=\dfrac{1}{x} e o ponto a=0. Considere a versão lateral à direita: \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.Prova rápida (usando a definição): dado M>0, escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se 0<x<\delta então x<\dfrac{1}{M} e portanto \dfrac{1}{x}>M. Logo, para 0<x<\delta vale f(x)>M, o que confirma a definição. Assim a função cresce sem limite quando x\to0^+.
  • Note que \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. Portanto \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} NÃO existe (os limites laterais divergem com sinais diferentes).

Passo 3

Limites laterais que são infinitos (diferença entre \lim_{x\to a^+} e \lim_{x\to a^-}).
  • Definição (exemplo para +\infty pela direita): \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty significa: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-a<\delta (ou seja a<x<a+\delta), então f(x)>M.
  • Explicação prática: limites laterais permitem que o comportamento à esquerda e à direita de a sejam diferentes. É comum que um lado vá para +\infty e o outro para -\infty (caso da 1/x em 0).
  • Exemplo (já parcialmente visto): para f(x)=\dfrac{1}{x}, \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty.Aqui as duas conclusões são verificáveis com as escolhas de \delta apropriadas como no passo anterior.

Passo 4

Definição e significado de limites quando x\to\infty: \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L (com L finito) e \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty.
  • Caso 1 — limite finito no infinito: dizer que \lim_{x\to\infty} f(x)=L\quad\text{(com \(L\) finito)}significa: para todo \varepsilon>0 existe N>0 tal que, sempre que x>N, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.
    • Interpretação: à medida que x vai para +\infty, os valores de f(x) se aproximam cada vez mais de L. Geometricamente isso corresponde a uma assíntota horizontal y=L.
    • Exemplo: f(x)=\dfrac{1}{x}. Tem-se \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.Prova rápida: dado \varepsilon>0, escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Se x>N então \dfrac{1}{x}<\varepsilon, logo |\dfrac{1}{x}-0|<\varepsilon.
  • Caso 2 — limite infinito no infinito: dizer que \lim_{x\to\infty} f(x)=+\inftysignifica: para todo M>0 existe N>0 tal que, sempre que x>N, vale f(x)>M.
    • Interpretação: quando x cresce, f(x) cresce sem limite; a função não se aproxima de número real, mas cresce além de qualquer cota.
    • Exemplo: f(x)=x. Tem-se \lim_{x\to\infty} x = +\infty.Prova rápida: dado M>0, basta escolher N=M. Se x>N então x>M, logo f(x)>M.

Passo 5

Comparando ponto a ponto — diferenças práticas e como identificá-las no exame (resumo direto, passo a passo para não se confundir).
  • Onde a variável se aproxima:
    • Em \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\infty a variável x aproxima-se de um ponto finito a. É comportamento local perto de a. Normalmente indica assíntota vertical na reta x=a.
    • Em \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty a variável x vai para o infinito. É comportamento global quando x cresce muito. Normalmente indica que a função cresce sem limite (sem assíntota horizontal).
  • O que o símbolo \infty significa em cada contexto:
    • Em ambos os casos \infty não é um número; é uma maneira de dizer “cresce além de toda cota”. Matemática rigorosa usa definições com M (para \infty) e \varepsilon (para limites finitos).
  • Como provar/mostrar:
    • Para \lim_{x\to a} f(x)=\infty: trabalhar com M>0 e encontrar \delta tal que 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.
    • Para \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty: trabalhar com M>0 e encontrar N tal que x>N\Rightarrow f(x)>M.
  • Exemplos para memorizar (fáceis para a prova):
    • Limite infinito em ponto finito (vertical): \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
    • Limite lateral com sinais diferentes: \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty; por isso \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} não existe.
    • Limite finito no infinito (assíntota horizontal): \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
    • Limite infinito no infinito (crescimento sem limite): \displaystyle \lim_{x\to\infty} x = +\infty.

Passo 6

Dicas práticas rápidas para prova (como reconhecer cada caso sem perder tempo).
  • Para limites em pontos finitos de funções racionais: fatorar e comparar graus do numerador e denominador. Se o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a um número não nulo, espera-se limite infinito (verificar sinais).
  • Para limites em x\to\infty de racionais: comparar graus:
    • grau(numerador) < grau(denominador) \Rightarrow limite =0;
    • grau(numerador) = grau(denominador) \Rightarrow limite = razão dos coeficientes principais (finitos);
    • grau(numerador) > grau(denominador) \Rightarrow limite =\infty (ou -\infty dependendo do sinal).
  • Faça sempre verificação rápida de sinais para concluir +\infty ou -\infty quando o denominador muda de sinal.

Resposta

Diferença curta e exemplos:
  • \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\infty: a variável x aproxima-se de um ponto finito a e f(x) cresce sem limite perto de a (vertical assíntota). Exemplo: \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
  • Limites laterais infinitos: o comportamento pode ser diferente à esquerda e à direita; por exemplo \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty (a combinação das duas direções pode fazer o limite em a não existir).
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L (com L finito): comportamento no infinito que se aproxima de um número (assíntota horizontal). Exemplo: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty: quando x cresce, f(x) cresce sem limite (sem assíntota horizontal). Exemplo: \displaystyle \lim_{x\to\infty} x = +\infty.

Exercícios relacionados