Problema 2 Um complexo de ecoturismo registrou a quantidade de visitantes que realizaram a trilha principal do parque durante 6 dias consecutivos em um feriado prolongado. Os valores registrados foram: 120,135,120,140,130 e 135 . Calcule a média, a mediana e a moda diária de visitantes. Em seguida, determine a amplitude e o desvio padrão amostral dessa distribuição de dados.
Passo 1
O enunciado deu os números de visitantes nos 6 dias consecutivos:
120,\;135,\;120,\;140,\;130,\;135.
O que é pedido:
Calcular a média diária de visitantes.
Calcular a mediana diária de visitantes.
Calcular a(s) moda(s) diária(s) de visitantes.
Determinar a amplitude (range) da distribuição.
Determinar o desvio padrão amostral dessa distribuição.
Passo 2
Vamos calcular a média aritmética (média simples). Explicação do conceito: a média é o valor que se obtém somando todos os observações e dividindo pelo número total de observações. Formalmente, para observações x_1,\dots,x_n a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=6.
Calculemos a soma dos dados:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 120+135+120+140+130+135.
Fazendo as adições passo a passo:
120+135=255,
255+120=375,
375+140=515,
515+130=645,
645+135=780.
Portanto \sum_{i=1}^{6} x_i=780. Agora a média:
\bar{x}=\frac{780}{6}=130.
Passo 3
Agora a mediana. Explicação do conceito: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Se n é ímpar, é o valor da posição \frac{n+1}{2}. Se n é par, é a média dos dois valores centrais (posições n/2 e n/2+1).
Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente (vou mostrar a ordenação):
120,\;120,\;130,\;135,\;135,\;140.
Aqui n=6 é par, então a mediana é a média dos valores nas posições 3 e 4 (porque n/2=3 e n/2+1=4). Esses valores são 130 e 135. Então:
Agora a moda. Explicação do conceito: a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Podemos contar quantas vezes cada valor aparece.
Contagem dos valores (pegando os dados originais):
120 aparece 2 vezes.
130 aparece 1 vez.
135 aparece 2 vezes.
140 aparece 1 vez.
Os valores com maior frequência são 120 e 135 (cada um com frequência 2). Portanto a distribuição é bimodal e as modas são 120 e 135.
Passo 5
Agora a amplitude (range). Explicação do conceito: amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Usando os dados ordenados:
\text{mínimo}=120,\qquad \text{máximo}=140.
Logo a amplitude é
\text{amplitude} = 140-120=20.
Passo 6
Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a explicação didática: o desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em relação à média da amostra. A fórmula do desvio padrão amostral é
onde n é o tamanho da amostra, \bar{x} é a média amostral e x_i são as observações. Usamos n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra — isso corrige o viés.
Já temos n=6 e \bar{x}=130. Vamos calcular cada desvio x_i-\bar{x}, seu quadrado e depois somar.
Finalmente o desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
s=\sqrt{70}\approx 8{,}366600.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
s\approx 8{,}37.]
Passo 7
Interpretação rápida e motivadora: a média é 130 visitantes por dia; a mediana 132{,}5 mostra que metade dos dias teve até 132{,}5 visitantes; as modas 120 e 135 indicam que esses números ocorreram com maior frequência; a amplitude 20 mostra que a maior variação entre dias foi de 20 visitantes; e o desvio padrão amostral s\approx 8{,}37 indica que, em média, os dias desviam cerca de 8 visitantes da média — o que é relativamente pequeno comparado à média, sinal de variabilidade moderada.