Problema 2 Um complexo de ecoturismo registrou a quantidade de visitantes que realizaram a trilha principal do parque durante 6 dias consecutivos em um feriado prolongado. Os valores registrados foram: 120,135,120,140,130 e 135 . Calcule a média, a mediana e a moda diária de visitantes. Em seguida, determine a amplitude e o desvio padrão amostral dessa distribuição de dados.

Passo 1

O enunciado deu os números de visitantes nos 6 dias consecutivos:
120,\;135,\;120,\;140,\;130,\;135.
O que é pedido:
  • Calcular a média diária de visitantes.
  • Calcular a mediana diária de visitantes.
  • Calcular a(s) moda(s) diária(s) de visitantes.
  • Determinar a amplitude (range) da distribuição.
  • Determinar o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Passo 2

Vamos calcular a média aritmética (média simples). Explicação do conceito: a média é o valor que se obtém somando todos os observações e dividindo pelo número total de observações. Formalmente, para observações x_1,\dots,x_n a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=6.
Calculemos a soma dos dados:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 120+135+120+140+130+135.
Fazendo as adições passo a passo:
120+135=255,
255+120=375,
375+140=515,
515+130=645,
645+135=780.
Portanto \sum_{i=1}^{6} x_i=780. Agora a média:
\bar{x}=\frac{780}{6}=130.

Passo 3

Agora a mediana. Explicação do conceito: a mediana é o valor central quando os dados são ordenados. Se n é ímpar, é o valor da posição \frac{n+1}{2}. Se n é par, é a média dos dois valores centrais (posições n/2 e n/2+1).
Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente (vou mostrar a ordenação):
120,\;120,\;130,\;135,\;135,\;140.
Aqui n=6 é par, então a mediana é a média dos valores nas posições 3 e 4 (porque n/2=3 e n/2+1=4). Esses valores são 130 e 135. Então:
\text{mediana}=\frac{130+135}{2}=\frac{265}{2}=132{,}5.

Passo 4

Agora a moda. Explicação do conceito: a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Podemos contar quantas vezes cada valor aparece.
Contagem dos valores (pegando os dados originais):
  • 120 aparece 2 vezes.
  • 130 aparece 1 vez.
  • 135 aparece 2 vezes.
  • 140 aparece 1 vez.
Os valores com maior frequência são 120 e 135 (cada um com frequência 2). Portanto a distribuição é bimodal e as modas são 120 e 135.

Passo 5

Agora a amplitude (range). Explicação do conceito: amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Usando os dados ordenados:
\text{mínimo}=120,\qquad \text{máximo}=140.íá
Logo a amplitude é
\text{amplitude} = 140-120=20.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão amostral. Primeiro a explicação didática: o desvio padrão amostral s mede a dispersão dos dados em relação à média da amostra. A fórmula do desvio padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}},
onde n é o tamanho da amostra, \bar{x} é a média amostral e x_i são as observações. Usamos n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra — isso corrige o viés.
Já temos n=6 e \bar{x}=130. Vamos calcular cada desvio x_i-\bar{x}, seu quadrado e depois somar.
Dados e desvios (mostrando cada passo):
\begin{array}{llr} x_1=120: & x_1-\bar{x}=120-130=-10, & (x_1-\bar{x})^2=100,\\[4pt] x_2=135: & x_2-\bar{x}=135-130=5, & (x_2-\bar{x})^2=25,\\[4pt] x_3=120: & x_3-\bar{x}=120-130=-10, & (x_3-\bar{x})^2=100,\\[4pt] x_4=140: & x_4-\bar{x}=140-130=10, & (x_4-\bar{x})^2=100,\\[4pt] x_5=130: & x_5-\bar{x}=130-130=0, & (x_5-\bar{x})^2=0,\\[4pt] x_6=135: & x_6-\bar{x}=135-130=5, & (x_6-\bar{x})^2=25. \end{array}
Somando os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^{2}=100+25+100+100+0+25=350.
Agora a variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{350}{6-1}=\frac{350}{5}=70.
Finalmente o desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
s=\sqrt{70}\approx 8{,}366600.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
s\approx 8{,}37.]

Passo 7

Interpretação rápida e motivadora: a média é 130 visitantes por dia; a mediana 132{,}5 mostra que metade dos dias teve até 132{,}5 visitantes; as modas 120 e 135 indicam que esses números ocorreram com maior frequência; a amplitude 20 mostra que a maior variação entre dias foi de 20 visitantes; e o desvio padrão amostral s\approx 8{,}37 indica que, em média, os dias desviam cerca de 8 visitantes da média — o que é relativamente pequeno comparado à média, sinal de variabilidade moderada.

Resposta

Média: 130
Mediana: 132{,}5
Moda: 120 e 135
Amplitude: 20
Desvio padrão amostral: s=\sqrt{70}\approx 8{,}37

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