1.1 Um exemplo de funçào logistica é definida por
varphi(v)=11+exp (-a v)
cujos valores limites são 0 e 1 . Mostre que a derivada de varphi(v) em relação a v é dada por
d varphid v=a varphi(v)[1-varphi(v)]
Qual é o valor desta derivada na origem?

Passo 1

O enunciado pede para a gente pegar a função logística
varphi(v)=11+e^-a v
e mostrar, passo a passo, que
dvarphidv=a,varphi(v)l[1-varphi(v)r]
Depois, a gente tem que avaliar essa derivada na origem, ou seja, em .
Conteúdo envolvido: regra da cadeia, derivada de e derivada de .

Passo 2

Escreve varphi(v)=(1+e^-a v)^-1 como potência:
u'(v)=ddvl(1+e^-avr) =0 + l(-ar)e^-a v =-a,e^-a v
Para derivar, uso duas ideias:
  1. a derivada de dvarphidv =ddvl[u(v)^-1r] =-u(v)^-2cdot u'(v) =-(1+e^-a v)^-2,l(-a,e^-a vr) = a,e^-a vl(1+e^-a vr)^2 é ,
  2. a derivada de é .
    Aqui , então
Aplicando a derivada de :

Passo 3

Agora a gente reescreve esse resultado em termos de varphi(v)=11+e^-a v Longrightarrow 1-varphi(v) =1+e^-a v-11+e^-a v =e^-a v1+e^-a v . Note que
e^-a vl(1+e^-a vr)^2 =11+e^-a v;e^-a v1+e^-a v =varphi(v)l[1-varphi(v)r]
Logo
dvarphidv = a,varphi(v)l[1-varphi(v)r]
Substituindo na derivada:

Passo 4

Falta só achar esse valor quando varphi(0)=11+e^-acdot0 =11+1 =tfrac12 . Primeiro
dvarphidv|v=0 = a;varphi(0)l[1-varphi(0)r] = a;tfrac12l[1-tfrac12r] = a;tfrac12;tfrac12 = a4
Então

Resposta

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