Exemplo a1: Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas como uma função de distribuição exponencial, com média de 25 conexões por hora. Qual a probabilidade de que a próxima conexão seja após 6 minutos.

Passo 1

O enunciado diz que os tempos entre conexões seguem uma distribuição exponencial com média de 25 conexões por hora, e pede a probabilidade de que a próxima conexão ocorra após 6 minutos. O conteúdo aqui é a função de sobrevivência da distribuição exponencial, e precisaremos (1) achar o parâmetro \lambda, (2) converter 6 minutos para horas e (3) usar a fórmula de \Pr(T>t).

Passo 2

Como em uma distribuição exponencial a taxa de ocorrências por unidade de tempo é \lambda, e a média de conexões por hora é 25, temos
\lambda = 25\quad\text{(hora}^{-1}\text{)}.
Isso significa que o tempo médio entre conexões é 1/\lambda = 1/25 hora.

Passo 3

Precisamos de t em horas. Como 6 minutos equivalem a
t = \frac{6}{60} = 0,1\text{ horas},
vamos usar esse valor na função de sobrevivência.

Passo 4

A probabilidade de que a próxima conexão demore mais que t é dada pela função de sobrevivência
\Pr(T>t) = e^{-\lambda t}.
Substituindo \lambda=25 e t=0,1, obtemos
\Pr(T>0{,}1) = e^{-25 \times 0{,}1} = e^{-2{,}5}.

Passo 5

Bastaplicar a exponencial numericamente:
e^{-2{,}5}\approx 0{,}0821.

Resposta

A probabilidade de que a próxima conexão seja após 6 minutos é
e^{-2{,}5}\approx 0{,}0821\quad(\text{aprox. }8{,}21\%).

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