1.12.3 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA - EXPONENCIAL

Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70% das lâmpadas são produzidas pelo método A e as demais pelo método
B. A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método A seguem uma distribuição exponencial com parâmetro 1 / 80 e as do método B seguem uma exponencial de parâmetro 1 / 100. Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lâmpada ao acaso, ela dure mais de 100 horas?
Sejam X_{A} \sim \operatorname{Exp}(1 / 80) e X_{B} \sim \operatorname{Exp}(1 / 100) e considere os evento C=\{ Uma lâmpada durar mais de 100 horas \}, A=\{\mathrm{A} lâmpada ter sido fabricada pelo método A \} e \mathrm{B}=\{\mathrm{Al} âmpada ter sido fabricada pelo método B \}. Assim usandoo Teorema de BAYES:

Passo 1

O enunciado trata de uma mistura de duas distribuições exponenciais: 70 % das lâmpadas seguem \Exp(1/80) (método A) e 30 % seguem \Exp(1/100) (método B). Precisamos calcular a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas. Para isso usaremos a função de sobrevivência da exponencial,
\Pr(X>t)=e^{-\lambda t},
e o Teorema da Probabilidade Total (cadeia de Bayes).

Passo 2

Calcular \Pr(C\mid A), ou seja, a probabilidade de durar mais de 100 horas dado que veio do método A. Como X_A\sim\Exp(1/80),
\Pr(C\mid A)=\Pr(X_A>100)=e^{-(1/80)\cdot100}=e^{-1,25}.

Passo 3

Calcular \Pr(C\mid B), a probabilidade de durar mais de 100 horas dado o método B. Como X_B\sim\Exp(1/100),
\Pr(C\mid B)=\Pr(X_B>100)=e^{-(1/100)\cdot100}=e^{-1}.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Probabilidade Total:
\Pr\text{(C)}=\Pr(C\mid A)\Pr(A)+\Pr(C\mid B)\Pr(B),
onde \Pr(A)=0,7 e \Pr(B)=0,3. Logo,
\Pr\text{(C)}=0{,}7\,e^{-1,25}+0{,}3\,e^{-1}.

Passo 5

Fazendo a conta numérica:
e^{-1,25}\approx0,2865,\quad e^{-1}\approx0,3679
\Pr\text{(C)}\approx0{,}7\times0{,}2865+0{,}3\times0{,}3679=0{,}2006+0{,}1104=0{,}3110.

Resposta

A probabilidade de a lâmpada durar mais de 100 horas é aproximadamente 0,311.

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