1.12.3 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA - EXPONENCIAL
Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70% das lâmpadas são produzidas pelo método
e as demais pelo método
B. A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método
seguem uma distribuição exponencial com parâmetro
e as do método
seguem uma exponencial de parâmetro
. Qual a probabilidade de que, se escolhermos uma lâmpada ao acaso, ela dure mais de 100 horas?
Sejam
e
e considere os evento
Uma lâmpada durar mais de 100 horas
lâmpada ter sido fabricada pelo método A
e
âmpada ter sido fabricada pelo método B
. Assim usandoo Teorema de BAYES:
B. A duração da lâmpada depende do método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método
Passo 1
O enunciado trata de uma mistura de duas distribuições exponenciais: 70 % das lâmpadas seguem
(método
) e 30 % seguem
(método
). Precisamos calcular a probabilidade de que uma lâmpada escolhida ao acaso dure mais de 100 horas. Para isso usaremos a função de sobrevivência da exponencial,
e o Teorema da Probabilidade Total (cadeia de Bayes).
Passo 2
Calcular
, ou seja, a probabilidade de durar mais de 100 horas dado que veio do método
. Como
,
Passo 3
Calcular
, a probabilidade de durar mais de 100 horas dado o método
. Como
,
Passo 4
Aplicar o Teorema da Probabilidade Total:
onde
e
. Logo,
Passo 5
Fazendo a conta numérica:
Resposta
A probabilidade de a lâmpada durar mais de 100 horas é aproximadamente
.