Exemplo 3.0.8. O limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-y}{x+y}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos calcular o valor da função em diferentes caminhos de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Considere o caminho y=0. Nesse caso, para x\neq0 temos
\frac{x-y}{x+y} = \frac{x-0}{x+0} = 1,
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\lim_{x\to0}\frac{x-0}{x+0} = 1.

Passo 3

Agora, considere o caminho x=0. Para y\neq0 obtemos
\frac{x-y}{x+y} = \frac{0-y}{0+y} = -1,
portanto
\lim_{y\to0}\frac{0-y}{0+y} = -1.

Passo 4

Como nos dois caminhos obtemos valores diferentes (1 e -1), o limite depende da trajetória de aproximação e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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