Exemplo 3.0.6. Sejam D=\mathbb{R}^{2} ; X_{0}=(0,0) ; X=(x, y) e f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Então,
\lim _{X \rightarrow X_{0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por
f(x,y)=x^2+y^2
e pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^2+y^2\bigr)=0.
O conteúdo envolvido é a definição de limite de função de duas variáveis e usaremos um argumento do tipo épsilon-delta.

Passo 2

Recordando a definição, dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta,
então
\bigl|f(x,y)-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Observe que
\bigl|f(x,y)-0\bigr| = |x^2+y^2| = x^2+y^2
e que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2 < \delta^2.

Passo 4

Para atender à condição \,x^2+y^2<\varepsilon, basta escolher
\delta = \sqrt{\varepsilon}.
De fato, se 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta, então
|f(x,y)-0| = x^2+y^2 < \delta^2 = \varepsilon.

Passo 5

Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, encontramos \delta=\sqrt{\varepsilon} que garante
0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-0|<\varepsilon.
Logo, pela definição de limite,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^2+y^2\bigr)=0.

Resposta

0

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