Dê um exemplo de matriz de coeficientes, A, com pelo menos 2 linh as e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha:
(a) ( 0,75 ponto) 0 ou 1 solução, dependendo de \boldsymbol{b}.
(b) ( 0,75 ponto) infinitas soluções, independentemente de \boldsymbol{b}.
(c) ( 0,75 ponto) 0 ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol{b}.
(d) ( 0,75 ponto) 1 solução, independentemente de \boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado pede para dar exemplos de matrizes de coeficientes A (com ao menos 2 linhas e 2 colunas) tais que o sistema linear
A\,\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}
tenha diferentes comportamentos de solução, a saber:
– (a) 0 ou 1 solução, dependendo de \boldsymbol{b}.
– (b) infinitas soluções, independente de \boldsymbol{b}.
– (c) 0 ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol{b}.
– (d) exatamente 1 solução, independente de \boldsymbol{b}.
Para isso, vamos usar o critério de posto (rank) de A comparado ao número de equações m e ao número de incógnitas n.

Passo 2

Recordando a teoria de sistemas lineares e posto da matriz:
  • Seja A de tamanho m\times n e \mathrm{rank}(A)=r.
  • Se r<n, há graus de liberdade e, se o sistema for compatível, terá infinitas soluções.
  • Se r=n, não há graus de liberdade extras;
    \bullet se r=m=n, o sistema é quadrado e invertível \to 1 solução para todo \boldsymbol{b}.
    \bullet se m>n e r=n, então pode ser inconsistente ( 0 soluções) ou ter 1 solução, dependendo de \boldsymbol{b}.
  • Se r<m e r<n, pode ser inconsistente ( 0 soluções) ou, se for compatível, dar infinitas soluções.

Passo 3

(a) Queremos 0 ou 1 solução, conforme \boldsymbol{b}. Isso ocorre quando m>n e \mathrm{rank}(A)=n. Por exemplo, escolha m=3, n=2 e
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui \mathrm{rank}(A)=2=n. Como há mais equações que incógnitas, para certos \boldsymbol{b} (fora do espaço gerado pelas duas primeiras linhas) o sistema é inconsistente ( 0 soluções), e para \boldsymbol{b} compatíveis ele tem exatamente 1 solução.

Passo 4

(b) Queremos infinitas soluções para todo \boldsymbol{b}. Isso acontece quando m<n e \mathrm{rank}(A)=m, de modo que \mathrm{Im}(A)=\mathbb{R}^m e há graus de liberdade extras. Por exemplo, m=2, n=3 e
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui \mathrm{rank}(A)=2=m, logo para qualquer \boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^2 há solução, mas como n=3>r sempre sobra 1 grau de liberdade, gerando infinitas soluções.

Passo 5

(c) Queremos 0 ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol{b}. Isso ocorre quando m=n mas \mathrm{rank}(A)<n. A matriz não é invertível, podendo ser incompatível ou dar espaço de soluções infinito. Um caso simples 2\times2 com posto 1 é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Como \mathrm{rank}(A)=1<2, o sistema só é compatível se a segunda equação de fato for 0= b_2; se b_2\neq0, 0 soluções, e se b_2=0, sobra 1 grau de liberdade \to infinitas soluções.

Passo 6

(d) Queremos sempre 1 solução, independente de \boldsymbol{b}. Basta tomar m=n e \mathrm{rank}(A)=n, ou seja, matriz quadrada invertível. Por exemplo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como \mathrm{rank}(A)=2, o sistema é sempre compatível e tem solução única \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}.

Resposta

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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