- ( 2,0 pontos) Prove que:
(a)
ponto)
.
(b) ( 0,5 ponto) Se
é uma matriz quadrada idempotente invertível, então
é a matriz identidade.
(c) (1,0 ponto) Sejam
e
duas matrizes
. Se
, então
para
par.
(a)
(b) ( 0,5 ponto) Se
(c) (1,0 ponto) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para provar três fatos sobre determinantes e matrizes quadradas:
- A invariância do determinante sob mudança de base (similaridade):
. - Que uma matriz quadrada idempotente (
) e invertível é necessariamente a matriz identidade. - Que, se
e são matrizes com , então
de onde, para
par,
(desde que esse produto seja não nulo).
Vamos usar as propriedades básicas de determinante:
- Multiplicatividade:
. -
para escalar e matriz identidade de ordem . - Se
é invertível, .
Passo 2
Prova de (a): basta aplicar a multiplicatividade e a regra do inverso.
Passo 3
Prova de (b): seja
quadrada, idempotente (
) e invertível.
Multiplicando à esquerda por
obtém-se
Multiplicando
Em detalhe:
Passo 4
Prova de (c): suponha
. Então
Como
e
, segue
Por outro lado, pela multiplicatividade,
. Igualando,
Para
par,
, logo
,
que não pode ser igual a
a menos que . Se o produto for não nulo (por exemplo, se
e
forem invertíveis), fica imediatamente
que não pode ser igual a
a menos que
Resposta
(a)
.
(b) e
invertível
.
(c) De segue
,
portanto para par
(quando
).
(b)
(c) De
portanto para