1. ( 2,0 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores: \mathbf{f}=(1,2,0,3), \mathbf{g}=(2,0,4,2) e \mathbf{h}=(0,8,2,-2). Existem outros vetores unitários ortogonais a \mathbf{f}, \mathbf{g} e \mathbf{h} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário em \mathbb{R}^4 ortogonal aos três vetores
\mathbf{f}=(1,2,0,3), \mathbf{g}=(2,0,4,2) e \mathbf{h}=(0,8,2,-2).
O conteúdo é resolver um sistema linear dado pelas condições de ortogonalidade (produtos escalares nulos) e depois normalizar o vetor solução.

Passo 2

Seja \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4). As condições de ortogonalidade são
\mathbf{f}\cdot\mathbf{x}=1\cdot x_1+2\cdot x_2+0\cdot x_3+3\cdot x_4=0,
\mathbf{g}\cdot\mathbf{x}=2\cdot x_1+0\cdot x_2+4\cdot x_3+2\cdot x_4=0,
\mathbf{h}\cdot\mathbf{x}=0\cdot x_1+8\cdot x_2+2\cdot x_3-2\cdot x_4=0.

Passo 3

Da primeira equação vem
x_1=-2x_2-3x_4.
Substituindo na segunda:
2(-2x_2-3x_4)+4x_3+2x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = x_2 + x_4.
Na terceira:
8x_2+2x_3-2x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad 8x_2+2(x_2+x_4)-2x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad 10x_2=0 \quad\Longrightarrow\quad x_2=0.

Passo 4

Com x_2=0 temos x_3=x_4 e x_1=-3x_4. Logo toda solução é
\mathbf{x}=x_4\,(-3,0,1,1),
isto é, o espaço ortogonal a \mathbf{f},\mathbf{g},\mathbf{h} é a reta gerada por (-3,0,1,1).

Passo 5

Para obter um vetor unitário, normalizamos \mathbf{v}=(-3,0,1,1). Seu módulo é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-3)^2+0^2+1^2+1^2}=\sqrt{11}.
Um vetor unitário ortogonal é então
\frac{1}{\sqrt{11}}(-3,0,1,1).

Passo 6

Como o subespaço ortogonal é de dimensão 1, todos os vetores ortogonais são múltiplos de \mathbf{v}. Para terem norma 1 só restam os sinais + e -. Portanto há exatamente dois vetores unitários ortogonais, que são
\pm \frac{1}{\sqrt{11}}(-3,0,1,1).

Resposta

Um vetor unitário ortogonal é
\frac{1}{\sqrt{11}}(-3,0,1,1).
Existem outros? Sim: como a solução forma uma reta em \mathbb{R}^4, os únicos vetores unitários ortogonais são
\pm\frac{1}{\sqrt{11}}(-3,0,1,1).

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