Exemplo 2
Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é
.
Solução.
Como
e
, temos que
, ou seja,
. Logo,
.
Como
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é
.
Informações relevantes e o que significam:
- “Hipérbole equilátera” significa que os semi-eixos associados satisfazem
. - Em uma hipérbole padrão, costuma-se usar
(semi-eixo transverse), (semi-eixo conjugado) e (distância do centro a cada foco). A excentricidade é definida como . - Vou usar a definição geométrica da hipérbole (diferença das distâncias aos focos é constante) e deduzir a relação entre
que é necessária para comparar com o caso .
Passo 2
Definição geométrica (lembrete bem passo-a-passo): coloque os focos em
e
. Para um ponto qualquer
do ramo direito da hipérbole, a definição é que a diferença das distâncias aos focos vale
. Escrevendo essas distâncias:
Para o ramo direito temos
Isto é a equação a partir da definição que vamos manipular algebricamente.
Passo 3
Isolar uma raiz e elevar ao quadrado (primeira quadratura) para eliminar uma das raízes:
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Ao fazer isso, tome cuidado para expandir corretamente:
Note que
e
aparecem; podemos cancelar os
dos dois lados.
Passo 4
Simplificar a expressão obtida na quadratura:
- Calcule a diferença
. Expansão dá . - Assim a igualdade fica
Dividindo por
obtemos
Isolando a raiz:
Passo 5
Segunda quadratura para eliminar a raiz restante: elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade do passo anterior:
Agora expandimos ambos os lados com calma:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Subtraindo o lado direito do esquerdo e simplificando (observe que os termos emse cancelam) chega-se a
Passo 6
Rearranjando essa igualdade para a forma padrão de uma hipérbole e dividindo por
(assumindo
, o que é verdade para hipérboles), obtemos a equação
Comparando com a forma padrão
vemos que
ou, equivalentemente,
Esta é a relação fundamental entre
para a hipérbole.
Passo 7
Agora use a definição de excentricidade e o caso especial pedido:
- A excentricidade é
. - Para uma hipérbole equilátera temos
. Substituindo em obtemos
Tomando raiz positiva (pois
):
Portanto a excentricidade é