Exemplo 2

Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é \sqrt{2}.
Solução.
Como a=b e c^{2}=a^{2}+b^{2}, temos que c^{2}=2 a^{2}, ou seja, c=\sqrt{2} a. Logo, e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2} a}{a}=\sqrt{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é \sqrt{2}.
Informações relevantes e o que significam:
  • “Hipérbole equilátera” significa que os semi-eixos associados satisfazem \,a=b\,.
  • Em uma hipérbole padrão, costuma-se usar a (semi-eixo transverse), b (semi-eixo conjugado) e c (distância do centro a cada foco). A excentricidade é definida como \displaystyle e=\frac{c}{a}.
  • Vou usar a definição geométrica da hipérbole (diferença das distâncias aos focos é constante) e deduzir a relação entre a,b,c que é necessária para comparar com o caso a=b.

Passo 2

Definição geométrica (lembrete bem passo-a-passo): coloque os focos em (\\ -c,0) e (c,0). Para um ponto qualquer (x,y) do ramo direito da hipérbole, a definição é que a diferença das distâncias aos focos vale 2a. Escrevendo essas distâncias:
d_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2},\qquad d_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}.
Para o ramo direito temos
d_2-d_1=2a.
Isto é a equação a partir da definição que vamos manipular algebricamente.

Passo 3

Isolar uma raiz e elevar ao quadrado (primeira quadratura) para eliminar uma das raízes:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Ao fazer isso, tome cuidado para expandir corretamente:
(x+c)^2+y^2 = (2a)^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2.
Note que (x+c)^2+y^2 e (x-c)^2+y^2 aparecem; podemos cancelar os y^2 dos dois lados.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida na quadratura:
  • Calcule a diferença (x+c)^2-(x-c)^2. Expansão dá 4cx.
  • Assim a igualdade fica
4cx = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.
Dividindo por 4 obtemos
cx = a^2 + a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.
Isolando a raiz:
a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = cx - a^2.

Passo 5

Segunda quadratura para eliminar a raiz restante: elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade do passo anterior:
a^2\bigl((x-c)^2+y^2\bigr) = (cx - a^2)^2.
Agora expandimos ambos os lados com calma:
  • Lado esquerdo: a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2).
  • Lado direito: c^2x^2 - 2a^2 c x + a^4.
    Subtraindo o lado direito do esquerdo e simplificando (observe que os termos em -2a^2 c x se cancelam) chega-se a
(a^2-c^2)x^2 + a^2 y^2 + a^2(c^2-a^2)=0.

Passo 6

Rearranjando essa igualdade para a forma padrão de uma hipérbole e dividindo por a^2(c^2-a^2) (assumindo c^2>a^2, o que é verdade para hipérboles), obtemos a equação
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1.
Comparando com a forma padrão
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
vemos que
b^2 = c^2 - a^2,
ou, equivalentemente,
c^2 = a^2 + b^2.
Esta é a relação fundamental entre a,b,c para a hipérbole.

Passo 7

Agora use a definição de excentricidade e o caso especial pedido:
  • A excentricidade é \displaystyle e=\frac{c}{a}.
  • Para uma hipérbole equilátera temos \,a=b\,. Substituindo em c^2=a^2+b^2 obtemos
c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.
Tomando raiz positiva (pois c>0):
c=\sqrt{2}\,a.
Portanto a excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}\,a}{a}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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