Exemplo 1

Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos ( -\sqrt{8}, 0 ) e (\sqrt{8}, 0).
Solução.
Como F_{1}=(-\sqrt{8}, 0) e F_{2}=(\sqrt{8}, 0), o centro da hipérbole é C=\frac{F_{1}+F_{2}}{2}= (0,0) e a reta focal é o eixo- O X. Sendo a hipérbole equilátera (a=b), c=\sqrt{8} e c^{2}=a^{2}+b^{2}, obtemos 8=a^{2}+a^{2}=2 a^{2}, isto é, a^{2}=4. Logo, a=b=2 e
\mathcal{H}: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1
é a equação da hipérbole.
Além disso, A_{1}=(-2,0) e A_{2}=(2,0) são os vértices, B_{1}=(0,-2) e B_{2}=(0,2) são os vértices imaginários e y= \pm x são as assíntotas da hipérbole \mathcal{H}. □

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da hipérbole equilátera cujos focos são os pontos (-\sqrt{8},0) e (\sqrt{8},0).
Informações dadas:
  • Foco F_{1}=(-\sqrt{8},0).
  • Foco F_{2}=(\sqrt{8},0).
O que precisamos encontrar:
  • A equação cartesiana da hipérbole (forma algébrica padrão) com esses focos.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e definições básicas (explicando cada letra):
  • Para uma hipérbole centrada na origem e com eixo transverse ao longo do eixo x, a equação padrão é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • a>0 é a semi‑distância do centro até cada vértice real (vértices em (\pm a,0)),
  • b>0 é a semi‑distância associada aos vértices imaginários (vértices imaginários em (0,\pm b)),
  • c>0 é a distância do centro até cada foco (focos em (\pm c,0)).
  • Essas quantidades satisfazem a relação geométrica da hipérbole
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Expliquei: essa relação vem da definição geométrica dos focos e da propriedade das hipérboles (analogia com o triângulo retângulo formado por a,b,c nas definições clássicas).
  • Hipérbole equilátera significa que os semi- eixos têm o mesmo comprimento: a=b. Em palavras: a “abertura” na direção x e a na direção y são iguais em módulo, o que também faz as assíntotas terem inclinação \pm1.

Passo 3

Usamos a informação dos focos para obter c:
  • Os focos estão em (\pm\sqrt{8},0), portanto
c=\sqrt{8}.
Calcule c^{2}:
c^{2}=8.

Passo 4

Como a hipérbole é equilátera, temos a=b. Substituindo b=a na relação \,c^{2}=a^{2}+b^{2}\, obtemos:
c^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}.
Agora substituímos c^{2}=8:
8=2a^{2}.
Isolando a^{2}:
a^{2}=\frac{8}{2}=4.
Como a>0, então a=2. E por a=b segue b=2 e b^{2}=4.

Passo 5

Substituímos a^{2}=4 e b^{2}=4 na equação padrão da hipérbole:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Podemos também escrever de forma equivalente multiplicando por 4:
x^{2}-y^{2}=4.

Passo 6

Interpretações e resultados auxiliares (úteis na prova):
  • Vértices reais: (\pm a,0)=(\pm 2,0).
  • Vértices imaginários (co‑vértices): (0,\pm b)=(0,\pm 2).
  • Assíntotas da hipérbole geral \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 são y=\pm\dfrac{b}{a}x. Aqui \dfrac{b}{a}=1, logo as assíntotas são
y=\pm x.
  • Excentricidade e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2} (valor típico de hipérbole equilátera).

Resposta

\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{4}=1

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