Exemplo 1
Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos (
) e
.
Solução.
Como
e
, o centro da hipérbole é
e a reta focal é o eixo-
. Sendo a hipérbole equilátera
,
e
, obtemos
, isto é,
. Logo,
e
é a equação da hipérbole.
Além disso,
e
são os vértices,
e
são os vértices imaginários e
são as assíntotas da hipérbole
. □
Como
Além disso,
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da hipérbole equilátera cujos focos são os pontos
e
.
Informações dadas:
- Foco
. - Foco
.
O que precisamos encontrar:
- A equação cartesiana da hipérbole (forma algébrica padrão) com esses focos.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e definições básicas (explicando cada letra):
- Para uma hipérbole centrada na origem e com eixo transverse ao longo do eixo
, a equação padrão é
onde:
-
é a semi‑distância do centro até cada vértice real (vértices em ), -
é a semi‑distância associada aos vértices imaginários (vértices imaginários em ), -
é a distância do centro até cada foco (focos em ). - Essas quantidades satisfazem a relação geométrica da hipérbole
Expliquei: essa relação vem da definição geométrica dos focos e da propriedade das hipérboles (analogia com o triângulo retângulo formado por
nas definições clássicas).
- Hipérbole equilátera significa que os semi- eixos têm o mesmo comprimento:
. Em palavras: a “abertura” na direção e a na direção são iguais em módulo, o que também faz as assíntotas terem inclinação .
Passo 3
Usamos a informação dos focos para obter
:
- Os focos estão em
, portanto
Calcule
:
Passo 4
Como a hipérbole é equilátera, temos
. Substituindo
na relação
obtemos:
Agora substituímos
:
Isolando
:
Como
, então
. E por
segue
e
.
Passo 5
Substituímos
e
na equação padrão da hipérbole:
Podemos também escrever de forma equivalente multiplicando por
:
Passo 6
Interpretações e resultados auxiliares (úteis na prova):
- Vértices reais:
. - Vértices imaginários (co‑vértices):
. - Assíntotas da hipérbole geral
são . Aqui , logo as assíntotas são
- Excentricidade
(valor típico de hipérbole equilátera).