Resolva o sistema utilizando as operações elementares entre linhas das matrizes.
\left\{\begin{array}{c}x+2 y+z=8 \\\\ 2 x+y-z=1 \\\\ -x+3 y+2 z=9\end{array}\right.\}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para encontrarmos a solução (os valores de x\), \(y\) e \(z\)): \[\begin{cases} x+2y+z=8\\[4pt] 2x+y-z=1\\[4pt] -x+3y+2z=9 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem três incógnitas: x\], \(y e z.
  • São três equações lineares (sistema determinado).
  • Foi pedido explicitamente para usar operações elementares entre linhas das matrizes (ou seja, eliminação de Gauss / operações de linha na matriz aumentada).]

Passo 2

Vou representar o sistema como matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra).
A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 2 & 9 \end{array}\right].
Lembrete rápido sobre operações elementares de linha (o que podemos fazer e por quê):
  1. Trocar duas linhas: \mathrm{R}_i \leftrightarrow \mathrm{R}_j.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: \mathrm{R}_i \leftarrow \lambda \mathrm{R}_i com \lambda\neq0.
  3. Somar múltiplo de uma linha a outra: \mathrm{R}_i \leftarrow \mathrm{R}_i + \lambda \mathrm{R}_j.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior (ou forma escalonada reduzida) para ler facilmente as incógnitas.]

Passo 3

Começamos eliminando as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar \mathrm{R}_1 como pivô, que já tem 1 na posição (1,1)).
Aplicamos:
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\mathrm{R}_1, \qquad \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 + \mathrm{R}_1.
Calculemos cada linha nova explicitamente:
Para \mathrm{R}_2:
\begin{array}{l} 2-2\cdot 1=0,\\[2pt] 1-2\cdot 2=1-4=-3,\\[2pt] -1-2\cdot 1=-1-2=-3,\\[2pt] 1-2\cdot 8=1-16=-15. \end{array}
Para \mathrm{R}_3:
\begin{array}{l} -1+1=0,\\[2pt] 3+2=5,\\[2pt] 2+1=3,\\[2pt] 9+8=17. \end{array}
A matriz torna-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] 0 & -3 & -3 & -15\\[4pt] 0 & 5 & 3 & 17 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora trabalhamos na segunda coluna. O pivô natural é a entrada -3 em \mathrm{R}_2. Para simplificar os cálculos, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo \mathrm{R}_2 por -3:
\mathrm{R}_2 \leftarrow \frac{1}{-3}\mathrm{R}_2.
Calculando:
\mathrm{R}_2 = \left[\,0\;,\;1\;,\;1\;,\;5\,\right].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 5 & 3 & 17 \end{array}\right].
Agora eliminamos as entradas nas outras linhas na coluna 2 usando o novo pivô \mathrm{R}_2:
\mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - 2\mathrm{R}_2, \qquad \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - 5\mathrm{R}_2.
Calculemos:
Para \mathrm{R}_1:
\begin{array}{l} 1-2\cdot 0=1,\\[2pt] 2-2\cdot 1=0,\\[2pt] 1-2\cdot 1=-1,\\[2pt] 8-2\cdot 5=8-10=-2. \end{array}
Para \mathrm{R}_3:
\begin{array}{l} 0-5\cdot 0=0,\\[2pt] 5-5\cdot 1=0,\\[2pt] 3-5\cdot 1=3-5=-2,\\[2pt] 17-5\cdot 5=17-25=-8. \end{array}
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right].]

Passo 5

Faltando apenas eliminar na terceira coluna. O pivô na linha 3 é -2. Transformamos esse pivô em 1 dividindo a linha por -2:
\mathrm{R}_3 \leftarrow \frac{1}{-2}\mathrm{R}_3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{R}_3 = \left[\,0\;,\;0\;,\;1\;,\;4\,\right].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora eliminamos as entradas acima do pivô da terceira coluna (obter forma escalonada reduzida): usamos \mathrm{R}_3 para zerar as colunas 3 em \mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_2.
Aplicamos:
\mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 + \mathrm{R}_3 \qquad \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - \mathrm{R}_3.
Calculemos:
Para \mathrm{R}_1:
\begin{array}{l} 1+0=1,\\[2pt] 0+0=0,\\[2pt] -1+1=0,\\[2pt] -2+4=2. \end{array}
Para \mathrm{R}_2:
\begin{array}{l} 0-0=0,\\[2pt] 1-0=1,\\[2pt] 1-1=0,\\[2pt] 5-4=1. \end{array}
A matriz final reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].
Isso já nos dá imediatamente os valores das incógnitas: linha 1 → x=2, linha 2 → y=1, linha 3 → z=4.]

Passo 7

Verificação rápida por substituição nas equações originais (pra garantir que não houve erro aritmético):
  1. Primeira equação: x+2y+z = 2 + 2\cdot 1 + 4 = 2 + 2 + 4 = 8. OK.
  2. Segunda equação: 2x+y-z = 2\cdot 2 + 1 - 4 = 4 + 1 - 4 = 1. OK.
  3. Terceira equação: -x+3y+2z = -2 + 3\cdot 1 + 2\cdot 4 = -2 + 3 + 8 = 9. OK.
Como todas as equações conferem, a solução está correta e é única.

Resposta

x=2
y=1
z=4

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