Resolva o sistema utilizando as operações elementares entre linhas das matrizes. \left\{\begin{array}{c}x+2 y+z=8 \\\\ 2 x+y-z=1 \\\\ -x+3 y+2 z=9\end{array}\right.\}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para encontrarmos a solução (os valores de x\), \(y\) e \(z\)):
\[\begin{cases} x+2y+z=8\\[4pt] 2x+y-z=1\\[4pt] -x+3y+2z=9 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
Existem três incógnitas: x\], \(y e z.
São três equações lineares (sistema determinado).
Foi pedido explicitamente para usar operações elementares entre linhas das matrizes (ou seja, eliminação de Gauss / operações de linha na matriz aumentada).]
Passo 2
Vou representar o sistema como matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra).
Lembrete rápido sobre operações elementares de linha (o que podemos fazer e por quê):
Trocar duas linhas: \mathrm{R}_i \leftrightarrow \mathrm{R}_j.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: \mathrm{R}_i \leftarrow \lambda \mathrm{R}_i com \lambda\neq0.
Somar múltiplo de uma linha a outra: \mathrm{R}_i \leftarrow \mathrm{R}_i + \lambda \mathrm{R}_j.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior (ou forma escalonada reduzida) para ler facilmente as incógnitas.]
Passo 3
Começamos eliminando as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar \mathrm{R}_1 como pivô, que já tem 1 na posição (1,1)).
Agora trabalhamos na segunda coluna. O pivô natural é a entrada -3 em \mathrm{R}_2. Para simplificar os cálculos, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo \mathrm{R}_2 por -3:
Agora eliminamos as entradas acima do pivô da terceira coluna (obter forma escalonada reduzida): usamos \mathrm{R}_3 para zerar as colunas 3 em \mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_2.