Exemplo: Realize as seguintes operações:
\hat{A}\left(x y^{3}\right), \hat{A}=\frac{\partial}{\partial y}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \hat{A}\left(x y^{3}\right) sabendo que \hat{A}=\frac{\partial}{\partial y}.
Informações dadas e relevantes: a função que vamos derivar (em duas variáveis) é f(x,y)=x y^{3} e o operador \hat{A} é a derivada parcial em relação a y. Ou seja, devemos encontrar \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3}\bigr).

Passo 2

O que significa derivada parcial em relação a y: ao calcular \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) nós consideramos x fixo (como uma constante) e vemos como f muda quando só y varia. A definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
No nosso caso, isso quer dizer que ao derivar x y^{3} em relação a y tratamos x como se fosse um número fixo.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma direta):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(c\cdot g(y)\bigr)=c\cdot\frac{\partial g}{\partial y}(y),
quando c não depende de y (pode depender de x). Essa é a regra do fator constante.
E a regra da potência (para inteiros positivos) diz
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{n-1}.
Aqui n é um número inteiro positivo; no nosso exercício n=3.

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante ao produto x y^{3}: como x é constante em relação a y,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3}\bigr)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr).
Isso só reescreve o problema de forma que reste derivar y^{3}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) usando a regra da potência. Posso também mostrar rapidamente pelo limite (para fixar a intuição):
\frac{(y+h)^{3}-y^{3}}{h}=\frac{3y^{2}h+3y h^{2}+h^{3}}{h}=3y^{2}+3y h+h^{2},
e ao fazer h\to0 fica 3y^{2}. Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}.

Passo 6

Voltando ao passo 4 e multiplicando pelo x que estava como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{3}\bigr)=x\cdot 3y^{2}=3x y^{2}.
Essa é a resposta final; interprete como: ao derivar em relação a y o expoente diminui em 1 (ficando 2) e vem o fator 3, enquanto x permanece multiplicando.

Resposta

\;3x y^{2}

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