Exemplo: Realize as seguintes operações:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a ação do operador
sobre a função
, onde foi dada a definição do operador:
Informações fornecidas:
- A função a ser operada é
. - O operador é
. - As constantes/variáveis presentes são
(unidade imaginária), (constante), (número de onda) e (variável real).
Passo 2
Entendendo o que o operador faz (mini-aula):
é um operador linear que primeiro deriva a função em relação a
e depois multiplica por
. Ou seja, para qualquer função
,
Aqui
é a unidade imaginária (
),
é uma constante (não depende de
),
é um parâmetro que também não depende de
. Como
e
são constantes em relação a
, podemos tratá-los como fatores durante a diferenciação.
Passo 3
Regra de derivação aplicável (mini-aula): para a função composta
, a derivada é
No nosso caso,
. Então calculemos
:
pois
e
são constantes multiplicativas. Logo, usando a regra acima,
Passo 4
Aplicando o operador
à função: por definição,
Substituindo o resultado da derivada do Passo 3,
Passo 5
Simplificação algébrica (mini-aula sobre
): calcule o produto
. Como
,
Portanto o fator complexo se simplifica completamente, ficando apenas o produto de constantes
. Assim
Passo 6
Interpretação e dica para prova: o resultado mostra que
é um autovetor (autofunção) do operador
com autovalor
, porque a aplicação do operador retorna a mesma função multiplicada por um escalar. Em provas, reconhecer essa estrutura (operador diferencial agindo em
) é rápido: sempre compute a derivada via regra da cadeia e simplifique constantes complexas como fizemos. Um exemplo rápido extra: se você aplicasse
em
obteria
.