Exemplo: Realize as seguintes operações:
\hat{A}\left(e^{i k x}\right), \hat{A}=-i \hbar \frac{d}{d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a ação do operador \hat{A} sobre a função e^{i k x}, onde foi dada a definição do operador:
\hat{A} = -i \hbar \frac{d}{d x}.
Informações fornecidas:
  • A função a ser operada é e^{i k x}.
  • O operador é \hat{A} = -i \hbar \dfrac{d}{d x}.
  • As constantes/variáveis presentes são i (unidade imaginária), \hbar (constante), k (número de onda) e x (variável real).

Passo 2

Entendendo o que o operador faz (mini-aula): \hat{A} é um operador linear que primeiro deriva a função em relação a x e depois multiplica por -i\hbar. Ou seja, para qualquer função f(x),
\hat{A}\big(f(x)\big) = -i\hbar \frac{d}{dx} f(x).
Aqui i é a unidade imaginária ( i^2=-1), \hbar é uma constante (não depende de x), k é um parâmetro que também não depende de x. Como \hbar e k são constantes em relação a x, podemos tratá-los como fatores durante a diferenciação.

Passo 3

Regra de derivação aplicável (mini-aula): para a função composta e^{u(x)}, a derivada é
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)\, e^{u(x)}.
No nosso caso, u(x)=i k x. Então calculemos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(i k x)=i k,
pois i e k são constantes multiplicativas. Logo, usando a regra acima,
\frac{d}{dx} e^{i k x} = i k\, e^{i k x}.

Passo 4

Aplicando o operador \hat{A} à função: por definição,
\hat{A}\left(e^{i k x}\right) = -i \hbar \frac{d}{dx} e^{i k x}.
Substituindo o resultado da derivada do Passo 3,
\hat{A}\left(e^{i k x}\right) = -i \hbar \big(i k\, e^{i k x}\big).

Passo 5

Simplificação algébrica (mini-aula sobre i): calcule o produto -i \cdot i. Como i^2=-1,
- i \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1.
Portanto o fator complexo se simplifica completamente, ficando apenas o produto de constantes \hbar k. Assim
\hat{A}\left(e^{i k x}\right) = \hbar k\, e^{i k x}.

Passo 6

Interpretação e dica para prova: o resultado mostra que e^{i k x} é um autovetor (autofunção) do operador \hat{A} com autovalor \hbar k, porque a aplicação do operador retorna a mesma função multiplicada por um escalar. Em provas, reconhecer essa estrutura (operador diferencial agindo em e^{\text{const}\cdot x}) é rápido: sempre compute a derivada via regra da cadeia e simplifique constantes complexas como fizemos. Um exemplo rápido extra: se você aplicasse \hat{A} em e^{-i k x} obteria -\hbar k\, e^{-i k x}.

Resposta

\hbar k\, e^{i k x}

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