Mostre que
é solução para a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
e
são constantes (constantes arbitrárias que não dependem de
). Ele pede para mostrar que essa função é solução da equação diferencial
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
, substituir na expressão
e verificar que o resultado é zero.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras essenciais (aquelas pequenas fórmulas que aparecem direto na prova e salvam nossa vida):
- A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em notação: se
é constante e é função, então . - Derivadas das funções trigonométricas fundamentais:
Essas regras bastam para calcular
e
.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada
. Aplicando a linearidade da derivada e as derivadas trigonométricas:
Usando as fórmulas acima:
Passo 4
Agora a segunda derivada
: derivamos
novamente,
Substituindo as derivadas das funções trigonométricas:
Repare que isso é simplesmente
Esse último passo usa apenas fatoração e a definição de
.
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Agora simplificamos somando termo a termo:
e
. Logo
Passo 6
Concluímos que, para quaisquer constantes
e
, a função
satisfaz a equação
. Isto prova que
é solução da equação diferencial dada. (Dica prática: na prova você pode fazer exatamente esses passos — derivar duas vezes e substituir — e comentar que
e
são constantes.)