Mostre que
y(x)=A \cos x+B \operatorname{sen} x
é solução para a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y(x)=0

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=A \cos x + B \operatorname{sen} x
onde A e B são constantes (constantes arbitrárias que não dependem de x). Ele pede para mostrar que essa função é solução da equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x) = 0.
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de y em relação a x, substituir na expressão \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x) e verificar que o resultado é zero.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras essenciais (aquelas pequenas fórmulas que aparecem direto na prova e salvam nossa vida):
  • A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em notação: se C é constante e f(x) é função, então \dfrac{d}{dx}\big(C f(x)\big) = C \dfrac{d}{dx} f(x).
  • Derivadas das funções trigonométricas fundamentais: \frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\operatorname{sen} x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big) = \cos x.
Essas regras bastam para calcular y' e y''.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada \dfrac{d y}{d x}. Aplicando a linearidade da derivada e as derivadas trigonométricas:
\frac{d y}{d x} = \frac{d}{dx}\big(A \cos x + B \operatorname{sen} x\big) = A\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) + B\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big).
Usando as fórmulas acima:
\frac{d y}{d x} = A(-\operatorname{sen} x) + B\cos x = -A \operatorname{sen} x + B \cos x.

Passo 4

Agora a segunda derivada \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}: derivamos \dfrac{d y}{d x} novamente,
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{dx}\big(-A \operatorname{sen} x + B \cos x\big) = -A\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big) + B\frac{d}{dx}\big(\cos x\big).
Substituindo as derivadas das funções trigonométricas:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -A(\cos x) + B(-\operatorname{sen} x) = -A \cos x - B \operatorname{sen} x.
Repare que isso é simplesmente
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -\big(A \cos x + B \operatorname{sen} x\big) = -y(x).
Esse último passo usa apenas fatoração e a definição de y(x).

Passo 5

Substituímos \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} e y(x) na equação diferencial \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x) = \big(-A \cos x - B \operatorname{sen} x\big) + \big(A \cos x + B \operatorname{sen} x\big).
Agora simplificamos somando termo a termo: -A\cos x + A\cos x = 0 e -B\operatorname{sen} x + B\operatorname{sen} x = 0. Logo
\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x) = 0.

Passo 6

Concluímos que, para quaisquer constantes A e B, a função y(x)=A\cos x + B\operatorname{sen} x satisfaz a equação \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x)=0. Isto prova que y(x) é solução da equação diferencial dada. (Dica prática: na prova você pode fazer exatamente esses passos — derivar duas vezes e substituir — e comentar que A e B são constantes.)

Resposta

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y(x) = 0

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