\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & -1 & 2 & 3\end{array}\right] que reduzida à forma escada torna-se \left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 5 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right]. Reinterpretando, vemos que z e t são livres.
Fazendo z=\lambda_{1} e t=\lambda_{2}, obtemos
\begin{aligned} x & =-5 \lambda_{1}+\lambda_{2}+3 \\\ y & =2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+2 \\\ z & =\lambda_{1} \\\ t & =\lambda_{2} \end{aligned}
ou \left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ t\end{array}\right]=\lambda_{1}\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]+\lambda_{2}\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]
Compare com o exemplo 1. O que você nota?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
A partir dessa forma reduzida o enunciado diz que z e t são variáveis livres, e define z=\lambda_{1}, t=\lambda_{2}.
Com isso obteve-se as expressões
\begin{aligned} x &= -5\lambda_{1}+\lambda_{2}+3,\\[4pt] y &= 2\lambda_{1}-\lambda_{2}+2,\\[4pt] z &= \lambda_{1},\\[4pt] t &= \lambda_{2}, \end{aligned}
corresponde às equações (cada linha é uma equação):
\begin{aligned} x + 5z - t &= 3,\\[4pt] y - 2z + t &= 2. \end{aligned}
Isto mostra imediatamente que x e y são variáveis dependentes (lideradas) e z,t são livres.]
Passo 3
Escolha de parâmetros e obtenção da solução paramétrica (passo a passo):
Como z e t são livres, escolhe-se z=\lambda_{1} e t=\lambda_{2}, com \lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{R}.
Substituindo em x + 5z - t = 3 obtemos
x = 3 - 5z + t = 3 - 5\lambda_{1} + \lambda_{2}.
Substituindo em y - 2z + t = 2 obtemos
y = 2 + 2z - t = 2 + 2\lambda_{1} - \lambda_{2}.
Assim a solução geral em coordenadas é exatamente
\begin{aligned} x &= -5\lambda_{1}+\lambda_{2}+3,\\[4pt] y &= 2\lambda_{1}-\lambda_{2}+2,\\[4pt] z &= \lambda_{1},\\[4pt] t &= \lambda_{2}. \end{aligned}]
Passo 4
Passagem para a forma vetorial e interpretação linear:
O vetor \left[\begin{smallmatrix}3\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right] é uma solução particular do sistema completo (é um ponto que satisfaz as equações).
Os vetores \left[\begin{smallmatrix}-5\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\right] e \left[\begin{smallmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{smallmatrix}\right] geram o espaço de soluções do sistema homogêneo associado (obtido zerando o lado direito). Ou seja, são soluções da versão homogênea
e qualquer combinação linear delas é solução homogênea.
Portanto a solução geral do sistema (inhomogêneo) é a soma de uma solução particular com qualquer solução do homogêneo. Em linguagem geométrica, o conjunto solução é uma tradução (um deslocamento) do subespaço linear gerado pelos dois vetores.]
Passo 5
Dimensão e geometria do conjunto solução:
Há 2 variáveis livres \Rightarrow a família de soluções tem \dim=2.
O conjunto solução é, então, um plano afim (um plano paralelo a um subespaço de dimensão 2) em \mathbb{R}^{4}.
Se o sistema fosse homogêneo (lado direito zero), o conjunto de soluções seria um subespaço linear que passa pela origem; aqui, por ser inhomogêneo, o conjunto é um plano que não necessariamente passa pela origem — neste caso passa pelo ponto particular \left(3,2,0,0\right).
Passo 6
Verificação rápida (substituir para garantir consistência):
Substituir a forma geral nas equações originais para confirmar: nas duas equações os termos em \lambda_{1},\lambda_{2} se cancelam de modo consistente, e a constante dá os valores informados. Isto confirma que a decomposição em particular + combinações é correta.
Passo 7
O que notar na comparação com o Exemplo 1 (resposta direta, didática e amigável):
Padrão comum: tanto neste exemplo quanto no Exemplo 1 (seja qual for a forma apresentada naquele exemplo) aparece a mesma ideia estrutural importante: a solução geral de um sistema linear pode ser escrita como
\text{solução geral} = \text{(solução particular)} + \text{(combinação linear das soluções do homogêneo)}.çãçãçãçõê
Diferença possível que costuma aparecer entre exemplos: se o Exemplo 1 tratava do sistema homogêneo, a solução ali seria só a combinação linear (sem o termo constante/pontual). Aqui, por ser inhomogêneo, aparece além das combinações lineares um vetor constante \left[\begin{smallmatrix}3\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{smallmatrix}\right].
Conclusão prática para a prova: ao reduzir e encontrar variáveis livres, escolha parâmetros para essas variáveis, escreva as variáveis lideradas em função desses parâmetros; reorganize em forma vetorial para identificar imediatamente a solução particular e os vetores que geram o espaço homogêneo.
Resposta
A solução é a soma de uma solução particular \left[\begin{smallmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right] com o espaço de soluções do sistema homogêneo gerado por \left[\begin{smallmatrix}-5\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{smallmatrix}\right] e \left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right]; geometricamente é um plano afim de dimensão 2 em \mathbb{R}^{4}.]