1. \left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3 \\\ x+7 y-7 z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear, ou seja, encontrar os valores de [(x,y,z)) que satisfazem simultaneamente as três equações dadas.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+y+z = 4\\[4pt] 2x+5y-2z = 3\\[4pt] x+7y-7z = 5 \end{cases}
Informações relevantes:
  • Há três incógnitas: (x,y,z)\]. - Há três equações lineares que relacionam essas incógnitas. - O objetivo é determinar se existe uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, e, no caso de existir, encontrar os valores de \((x,y,z).]

Passo 2

Para organizar os cálculos vou representar o sistema na forma de matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e o termo independente na última coluna. Isso facilita aplicar operações elementares sobre as linhas para simplificar o sistema.
A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 1 & 7 & -7 & 5 \end{array}\right]
Explicando os elementos: cada linha da matriz corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de (x,y,z) respectivamente e a coluna após a barra vertical é o termo independente (o lado direito da equação).
Também explico rapidamente as operações permitidas (operação de linha): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar a um linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Vou eliminar a incógnita \,x, das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô (a linha 1 tem coeficiente 1 em \,x). As operações que faço são:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Faço as contas elemento a elemento:
Para R_2 - 2R_1:
  • coeficiente de x: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • coeficiente de y: 5 - 2\cdot 1 = 3,
  • coeficiente de z: -2 - 2\cdot 1 = -4,
  • termo independente: 3 - 2\cdot 4 = 3 - 8 = -5.
Para R_3 - R_1:
  • coeficiente de x: 1 - 1 = 0,
  • coeficiente de y: 7 - 1 = 6,
  • coeficiente de z: -7 - 1 = -8,
  • termo independente: 5 - 4 = 1.
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 6 & -8 & 1 \end{array}\right]
Interpretando: agora a primeira linha ainda dá relação com x, mas as linhas 2 e 3 não contêm mais x — restam apenas y e z nessas duas linhas.]

Passo 4

Agora foco nas incógnitas (y,z) nas linhas 2 e 3. Quero eliminar y da linha 3 usando a linha 2 como pivô. A linha 2 tem coeficiente de y igual a 3 e a linha 3 tem coeficiente 6. Faço a operação:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculo cada entrada:
  • coeficiente de y: 6 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0,
  • coeficiente de z: -8 - 2\cdot(-4) = -8 + 8 = 0,
  • termo independente: 1 - 2\cdot(-5) = 1 + 10 = 11.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}\right]]

Passo 5

A terceira linha agora corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 11,
ou seja,
0 = 11.
Isso é uma contradição: uma igualdade impossível. Num sistema linear, quando a eliminação gera uma linha do tipo \,0= \text{constante não nula}\,ã, isso indica que o sistema é incompatível — não existe nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Geometricamente (apenas para intuição): as três equações representam três planos no espaço; essa contradição significa que os três planos não têm um ponto comum de interseção.

Passo 6

Conclusão: o sistema é incompatível (não tem solução). Não há valores de (x,y,z) que satisfaçam o conjunto de equações fornecido.
Força aí: é normal topar com sistemas que não têm solução — é um resultado tão válido quanto encontrar uma solução única. Agora você já viu como identificar essa situação com eliminação passo a passo.

Resposta

Não existe solução (sistema incompatível).

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