EXEMPLO 3: Sabe-se que os pedidos de serviços chegam aleatoriamente e como um processo estacionário numa média de 5 por hora. Qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de 50 pedidos em um período de 8 horas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Taxa média de chegadas: 5 pedidos por hora.
  • Intervalo de tempo considerado: 8 horas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de 50 pedidos nesse período de 8 horas?

Passo 2

Modelagem do problema (o que vamos usar): como os pedidos chegam aleatoriamente e o processo é estacionário com uma taxa constante, o número de pedidos em um intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson. A forma geral da probabilidade de um número exato k de ocorrências em uma Poisson com parâmetro \lambda é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Aqui \lambda é a média (e também a variância) do número de eventos no intervalo considerado. Vou explicar: \lambda representa o número esperado de pedidos no tempo total; e^{-\lambda} é a normalização que aparece na Poisson; e o fator \lambda^k/k! dá o peso para exatamente k ocorrências.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda para o período de 8 horas:
  • Taxa por hora: 5.
  • Tempo: 8 horas.
    Logo
\lambda = 5\cdot 8 = 40.
Portanto o número de pedidos X em 8 horas satisfaz X\sim\text{Poisson}(\lambda=40).
A probabilidade pedida é
P(X>50)=1-P(X\le 50)=1-\sum_{k=0}^{50} e^{-40}\frac{40^k}{k!}.
Esse somatório é exato, mas calcular manualmente todos os termos k=0,\dots,50 é muito trabalhoso na prova sem calculadora.

Passo 4

Escolha do método prático: usaremos a aproximação normal para a Poisson. Motivo e regra prática: quando \lambda é grande (regra de polegar: \lambda\gtrsim 10), a distribuição \text{Poisson}(\lambda) é bem aproximada por uma normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^{2}=\lambda, isto é \mathcal{N}(\lambda,\lambda). Essa aproximação vem do Teorema Central do Limite aplicado a somas de muitos eventos raros. Além disso, para melhorar a aproximação discreta→contínua usamos correção de continuidade: para P(X>50) tomamos o limite contínuo em 50{,}5 (meio passo acima de 50).

Passo 5

Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade:
  • Média \mu=\lambda=40.
  • Desvio padrão \sigma=\sqrt{\lambda}=\sqrt{40}.
    Calcular \sqrt{40}: \sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}. Como \sqrt{10}\approx 3{,}1623, temos
\sigma=\sqrt{40}\approx 2\cdot 3{,}1623 \approx 6{,}3246.
Com correção de continuidade, P(X>50) é aproximado por
P\big(Z>\frac{50{,}5-\mu}{\sigma}\big),
onde Z é padrão normal \mathcal{N}(0,1). Calcule o valor padrão:
z=\frac{50{,}5-40}{6{,}3246}=\frac{10{,}5}{6{,}3246}\approx 1{,}660.

Passo 6

Converter z em probabilidade usando a tabela da normal padrão:
  • Valor acumulado \Phi(1{,}660)\approx 0{,}9515 (tabela da normal).
  • Então a cauda é 1-\Phi(1{,}660)\approx 1-0{,}9515=0{,}0485.
    Em porcentagem isso é aproximadamente 4{,}85\%.
    Observação: este é um valor aproximado — o valor exato exigiria somar a cauda da Poisson ou usar uma calculadora/softwares (que normalmente dão um resultado muito próximo a este).

Resposta

\approx 0,0485

Exercícios relacionados