EXEMPLO 3: Sabe-se que os pedidos de serviços chegam aleatoriamente e como um processo estacionário numa média de 5 por hora. Qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de 50 pedidos em um período de 8 horas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Taxa média de chegadas:
pedidos por hora. - Intervalo de tempo considerado:
horas. - Pergunta: qual a probabilidade de que sejam recebidos mais de
pedidos nesse período de horas?
Passo 2
Modelagem do problema (o que vamos usar): como os pedidos chegam aleatoriamente e o processo é estacionário com uma taxa constante, o número de pedidos em um intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson. A forma geral da probabilidade de um número exato
de ocorrências em uma Poisson com parâmetro
é
Aqui
é a média (e também a variância) do número de eventos no intervalo considerado. Vou explicar:
representa o número esperado de pedidos no tempo total;
é a normalização que aparece na Poisson; e o fator
dá o peso para exatamente
ocorrências.
Passo 3
Calcular o parâmetro
para o período de
horas:
- Taxa por hora:
. - Tempo:
horas.
Logo
Portanto o número de pedidos
em
horas satisfaz
.
A probabilidade pedida é
A probabilidade pedida é
Esse somatório é exato, mas calcular manualmente todos os termos
é muito trabalhoso na prova sem calculadora.
Passo 4
Escolha do método prático: usaremos a aproximação normal para a Poisson. Motivo e regra prática: quando
é grande (regra de polegar:
), a distribuição
é bem aproximada por uma normal com média
e variância
, isto é
. Essa aproximação vem do Teorema Central do Limite aplicado a somas de muitos eventos raros. Além disso, para melhorar a aproximação discreta→contínua usamos correção de continuidade: para
tomamos o limite contínuo em
(meio passo acima de 50).
Passo 5
Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade:
- Média
. - Desvio padrão
.
Calcular: . Como , temos
Com correção de continuidade,
é aproximado por
onde
é padrão normal
. Calcule o valor padrão:
Passo 6
Converter
em probabilidade usando a tabela da normal padrão:
- Valor acumulado
(tabela da normal). - Então a cauda é
.
Em porcentagem isso é aproximadamente.
Observação: este é um valor aproximado — o valor exato exigiria somar a cauda da Poisson ou usar uma calculadora/softwares (que normalmente dão um resultado muito próximo a este).