Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de aparecer a face 4:
18 vezes ou mais
18 vezes ou mais
Passo 1
O enunciado: um dado é lançado
vezes e queremos a probabilidade de aparecer a face
pelo menos
vezes, ou seja pedir
. Informações dadas e claras:
- Número de ensaios:
. - Probabilidade de sucesso (sair a face
num lançamento): . - Os lançamentos são independentes (pressuposto padrão).
- Variável de interesse:
= número de vezes que sai a face em lançamentos.
A pergunta que vamos responder: calcular.
Passo 2
Modelagem e fórmula exata (conceito importante)
- Como cada lançamento tem apenas dois resultados relevantes (sai 4 = sucesso, não sai 4 = fracasso) e os lançamentos são independentes com probabilidade constante
, segue una distribuição binomial:
- A função de probabilidade da binomial é
onde
é o número de combinações de
sucessos em
tentativas.
- A probabilidade pedida é a soma das probabilidades dos casos
:
Essa expressão é correta e exata, mas somar todos esses termos à mão é impraticável sem calculadora/computador. Então vamos usar uma aproximação adequada para a prova.
Passo 3
Escolha do método de aproximação (por que usar a normal?)
- Duas opções comuns: aproximação normal (pela T.C.L.) ou cálculo exato por soma de binomial. Como
é grande, a aproximação normal é prática e frequentemente exigida em provas. - Regra prática para usar a normal: tanto
quanto devem ser razoavelmente grandes (geralmente ). Aqui:
Ambos são bem maiores que
, logo a aproximação normal é apropriada.
- Vou usar a aproximação normal com correção de continuidade (essa correção melhora bastante a precisão quando aproximamos binomial por normal discreta→contínua).
Passo 4
Cálculo da média e da variância da binomial (aulas rápidas)
- Para
temos:
- Substituindo nossos valores:
Passo 5
Correção de continuidade (explicação didática)
- A binomial é discreta; a normal é contínua. Para aproximar
melhor, usamos correção de continuidade: em discreto equivale a , e em contínuo aproximamos por onde . - Portanto vamos calcular
Passo 6
Padronização para a normal padrão (passo a passo)
- Definimos
que segue . - Calculamos o valor de
correspondente a :
- Assim
Passo 7
Uso da simetria da normal e leitura da tabela (como transformar em número)
- A função de distribuição padrão
. Queremos . - Pela simetria da normal:
. Então
- Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora, para
obtemos aproximadamente . - Portanto a probabilidade aproximada é
, ou cerca de . (Arredondando a três casas decimais: .)
Passo 8
Comentário final e dica para a prova
- Resumo: a expressão exata é a soma binomial mostrada no Passo 2; na prova é aceitável e comum usar a aproximação normal com correção de continuidade quando
e são grandes, como aqui. - Dica prática: calcule sempre
e , use correção de continuidade e depois tabelas de (ou calculadora) para obter o valor numérico. Isso salva muito tempo e costuma ser preciso o suficiente.