Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de aparecer a face 4:
18 vezes ou mais

Passo 1

O enunciado: um dado é lançado 120 vezes e queremos a probabilidade de aparecer a face 4 pelo menos 18 vezes, ou seja pedir P(X\ge 18). Informações dadas e claras:
  • Número de ensaios: n=120.
  • Probabilidade de sucesso (sair a face 4 num lançamento): p=\tfrac{1}{6}.
  • Os lançamentos são independentes (pressuposto padrão).
  • Variável de interesse: X = número de vezes que sai a face 4 em 120 lançamentos.
    A pergunta que vamos responder: calcular P(X\ge 18).

Passo 2

Modelagem e fórmula exata (conceito importante)
  • Como cada lançamento tem apenas dois resultados relevantes (sai 4 = sucesso, não sai 4 = fracasso) e os lançamentos são independentes com probabilidade constante p, X segue una distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Bin}(n=120,p=\tfrac{1}{6}).
  • A função de probabilidade da binomial é
P(X=k)=\binom{120}{k}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{k}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{120-k},
onde \binom{120}{k} é o número de combinações de k sucessos em 120 tentativas.
  • A probabilidade pedida é a soma das probabilidades dos casos k=18,19,\dots,120:
P(X\ge 18)=\sum_{k=18}^{120}\binom{120}{k}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{k}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{120-k}.
Essa expressão é correta e exata, mas somar todos esses termos à mão é impraticável sem calculadora/computador. Então vamos usar uma aproximação adequada para a prova.

Passo 3

Escolha do método de aproximação (por que usar a normal?)
  • Duas opções comuns: aproximação normal (pela T.C.L.) ou cálculo exato por soma de binomial. Como n é grande, a aproximação normal é prática e frequentemente exigida em provas.
  • Regra prática para usar a normal: tanto np quanto n(1-p) devem ser razoavelmente grandes (geralmente \ge 5). Aqui:
np = 120\cdot\tfrac{1}{6}=20,\qquad n(1-p)=120\cdot\tfrac{5}{6}=100.
Ambos são bem maiores que 5, logo a aproximação normal é apropriada.
  • Vou usar a aproximação normal com correção de continuidade (essa correção melhora bastante a precisão quando aproximamos binomial por normal discreta→contínua).

Passo 4

Cálculo da média e da variância da binomial (aulas rápidas)
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) temos:
\text{média } \mu = np,é
\text{variância } \sigma^2 = np(1-p),â
\text{desvio padrão } \sigma = \sqrt{np(1-p)}.ã
  • Substituindo nossos valores:
\mu = 120\cdot\tfrac{1}{6}=20,
\sigma^2 = 120\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{5}{6}=120\cdot\tfrac{5}{36}=\tfrac{600}{36}=\tfrac{50}{3}\approx 16{,}6667,
\sigma=\sqrt{\tfrac{50}{3}}\approx 4{,}08248.

Passo 5

Correção de continuidade (explicação didática)
  • A binomial é discreta; a normal é contínua. Para aproximar P(X\ge 18) melhor, usamos correção de continuidade: P(X\ge 18) em discreto equivale a P(X>17), e em contínuo aproximamos por P(Y>17{,}5) onde Y\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Portanto vamos calcular
P(X\ge 18)\approx P\bigl(Y>17{,}5\bigr)\quad\text{com }Y\sim N(20,\,\sigma^2).

Passo 6

Padronização para a normal padrão (passo a passo)
  • Definimos Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma} que segue Z\sim N(0,1).
  • Calculamos o valor de z correspondente a Y=17{,}5:
z=\frac{17{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{17{,}5-20}{\sqrt{\tfrac{50}{3}}}=\frac{-2{,}5}{4{,}08248}\approx -0{,}612372.
  • Assim
P(X\ge 18)\approx P\bigl(Z\ge -0{,}612372\bigr).

Passo 7

Uso da simetria da normal e leitura da tabela (como transformar em número)
  • A função de distribuição padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Queremos P(Z\ge -0{,}612372)=1-P(Z\le -0{,}612372).
  • Pela simetria da normal: P(Z\ge -a)=P(Z\le a)=\Phi(a). Então
P(X\ge 18)\approx \Phi(0{,}612372).
  • Usando uma tabela da normal padrão ou calculadora, para z\approx 0{,}6124 obtemos aproximadamente \Phi(0{,}6124)\approx 0{,}7299.
  • Portanto a probabilidade aproximada é 0{,}7299, ou cerca de 72{,}99\%. (Arredondando a três casas decimais: 0{,}730.)

Passo 8

Comentário final e dica para a prova
  • Resumo: a expressão exata é a soma binomial mostrada no Passo 2; na prova é aceitável e comum usar a aproximação normal com correção de continuidade quando np e n(1-p) são grandes, como aqui.
  • Dica prática: calcule sempre \mu=np e \sigma=\sqrt{np(1-p)}, use correção de continuidade e depois tabelas de Z (ou calculadora) para obter o valor numérico. Isso salva muito tempo e costuma ser preciso o suficiente.

Resposta

0{,}730 (aproximadamente)

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