Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de aparecer a face 4:
14 vezes ou menos

Passo 1

O enunciado diz: um dado é lançado 120 vezes. Queremos a probabilidade de aparecer a face 4 no máximo 14 vezes, ou seja, calcular
P(X \le 14),
onde X é o número de resultados iguais a 4 nas 120 jogadas. Informação relevante dada:
\text{número de ensaios } n = 120,ú
\text{evento “sucesso” = obter a face }4,
\text{probabilidade de sucesso em cada lançamento } p = \tfrac{1}{6},ç
\text{valor alvo } 14.

Passo 2

Modelagem e escolha do método.
Cada lançamento tem apenas dois resultados de interesse (sair 4 ou não), com probabilidade constante p=\tfrac{1}{6} e ensaios independentes. Logo X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p:
X \sim \text{Bin}(n,p).
A fórmula da probabilidade pontual da binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de k sucessos entre n ensaios. Porém, somar exatas P(X=k) para k=0,1,\dots,14 é trabalhoso manualmente. Como n é grande ( n=120) e np e n(1-p) não são pequenos, usamos a aproximação normal à binomial (Teorema do Limite Central / aproximação de De Moivre–Laplace), que é o método usual e prático para provas quando n é grande.
Critério de uso da aproximação normal: costuma-se aceitar a aproximação quando np\ge 5 e n(1-p)\ge 5. Aqui:
np = 120\cdot \tfrac{1}{6}=20\quad\text{e}\quad n(1-p)=120\cdot \tfrac{5}{6}=100,
ambos maiores que 5, então a aproximação normal é apropriada. Também aplicaremos a correção de continuidade (explico logo) para melhorar a aproximação.

Passo 3

Calcular média e desvio-padrão da binomial.
Para X\sim\text{Bin}(n,p) temos as fórmulas clássicas:
\text{média } \mu = E(X) = np,é
\text{variância } \sigma^{2} = \mathrm{Var}(X) = np(1-p).â
Aqui:
\mu = 120\cdot \tfrac{1}{6}=20,
\sigma^{2}=120\cdot \tfrac{1}{6}\cdot\Bigl(1-\tfrac{1}{6}\Bigr)=20\cdot \tfrac{5}{6}=\tfrac{100}{6}=\tfrac{50}{3}\approx 16,666\ldots
O desvio-padrão é
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{\tfrac{50}{3}}\approx 4,08248.
Explicando de maneira simples: a média 20 é o número esperado de vezes que o 4 aparece; o desvio-padrão cerca de 4,08 mede a dispersão típica em torno dessa média.

Passo 4

Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade.
Queremos P(X\le 14). Na aproximação normal usamos uma variável contínua Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) para aproximar X. A correção de continuidade diz que
P(X\le 14)\approx P\bigl(Y\le 14{,}5\bigr),
ou seja, adicionamos 0{,}5 ao limite superior para representar o bloco inteiro de valores discretos até 14.
Padronizando Y para a variável normal padrão Z\sim N(0,1):
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Então
P\bigl(Y\le 14{,}5\bigr)=P\!\left(Z \le \frac{14{,}5-\mu}{\sigma}\right).

Passo 5

Calcular o valor de Z e a probabilidade associada.
Substituindo \mu=20 e \sigma\approx 4{,}08248:
\frac{14{,}5-20}{4{,}08248}=\frac{-5{,}5}{4{,}08248}\approx -1{,}347.
Portanto
P(X\le 14)\approx P(Z\le -1{,}347).
Usando a simetria da normal e uma tabela da normal padrão:
P(Z\le -1{,}347)=1-P(Z\le 1{,}347).
Consultando a tabela (valores padrão): \Phi(1{,}34)=0{,}9099 e \Phi(1{,}35)=0{,}9115. Fazemos uma interpolação linear para 1{,}347 (que é 0{,}7 do caminho entre 1{,}34 e 1{,}35):
\Phi(1{,}347)\approx 0{,}9099 + 0{,}7\cdot(0{,}9115-0{,}9099) =0{,}9099 + 0{,}7\cdot 0{,}0016 \approx 0{,}91102.
Logo
P(Z\le -1{,}347)\approx 1-0{,}91102=0{,}08898\approx 0{,}0890.
Interpretação: há aproximadamente 8{,}90\% de chance de obter no máximo 14 ocorrências da face 4 em 120 lançamentos.

Passo 6

Verificação rápida do sentido do resultado (checagem lógica).
A média esperada é 20. Obter 14 ou menos é mais de um desvio-padrão abaixo da média ( \approx 1{,}35 desvios), portanto uma probabilidade moderadamente baixa faz sentido (algo em torno de 8\% 10\%), coerente com o número encontrado. Isso dá confiança na aproximação.

Resposta

P(X\le 14)\approx 0,0890

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