Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de aparecer a face 4:
14 vezes ou menos
14 vezes ou menos
Passo 1
O enunciado diz: um dado é lançado
vezes. Queremos a probabilidade de aparecer a face
no máximo
vezes, ou seja, calcular
onde
é o número de resultados iguais a
nas
jogadas. Informação relevante dada:
Passo 2
Modelagem e escolha do método.
Cada lançamento tem apenas dois resultados de interesse (sair
ou não), com probabilidade constante
e ensaios independentes. Logo
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
:
A fórmula da probabilidade pontual da binomial é
onde
é o número de combinações de
sucessos entre
ensaios. Porém, somar exatas
para
é trabalhoso manualmente. Como
é grande (
) e
e
não são pequenos, usamos a aproximação normal à binomial (Teorema do Limite Central / aproximação de De Moivre–Laplace), que é o método usual e prático para provas quando
é grande.
Critério de uso da aproximação normal: costuma-se aceitar a aproximação quando
e
. Aqui:
ambos maiores que
, então a aproximação normal é apropriada. Também aplicaremos a correção de continuidade (explico logo) para melhorar a aproximação.
Passo 3
Calcular média e desvio-padrão da binomial.
Para
temos as fórmulas clássicas:
Aqui:
O desvio-padrão é
Explicando de maneira simples: a média
é o número esperado de vezes que o
aparece; o desvio-padrão cerca de
mede a dispersão típica em torno dessa média.
Passo 4
Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade.
Queremos
. Na aproximação normal usamos uma variável contínua
para aproximar
. A correção de continuidade diz que
ou seja, adicionamos
ao limite superior para representar o bloco inteiro de valores discretos até
.
Padronizando
para a variável normal padrão
:
Então
Passo 5
Calcular o valor de
e a probabilidade associada.
Substituindo
e
:
Portanto
Usando a simetria da normal e uma tabela da normal padrão:
Consultando a tabela (valores padrão):
e
. Fazemos uma interpolação linear para
(que é
do caminho entre
e
):
Logo
Interpretação: há aproximadamente
de chance de obter no máximo
ocorrências da face
em
lançamentos.
Passo 6
Verificação rápida do sentido do resultado (checagem lógica).
A média esperada é
. Obter
ou menos é mais de um desvio-padrão abaixo da média (
desvios), portanto uma probabilidade moderadamente baixa faz sentido (algo em torno de
–
), coerente com o número encontrado. Isso dá confiança na aproximação.