Defina com suas palavras:
Variável aleatória discreta.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina, com minhas próprias palavras, o que é uma variável aleatória discreta. Não há outros dados numéricos ou condições fornecidas — apenas a solicitação da definição.

Passo 2

Ideia intuitiva e cenário: quando fazemos um experimento aleatório (por exemplo, lançar um dado, contar quantos sucessos em algumas tentativas, sortear um bilhete), o resultado numérico que obtemos pode variar de forma imprevisível. Uma variável aleatória é uma regra que atribui um número a cada resultado possível do experimento. Chamamos essa variável de discreta quando os números que ela pode assumir formam uma lista (finita ou enumerável) — isto é, quando é possível listar todos os valores possíveis, mesmo que sejam infinitos mas contáveis.

Passo 3

Definição formal e notação: seja X uma variável aleatória. Dizemos que X é discreta se existe um conjunto enumerável
S=\{x_1,x_2,x_3,\dots\}
tal que X só pode tomar valores em S. Para cada x_i\in S existe uma probabilidade
p_X(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i),
chamada de função massa de probabilidade (pmf). Essas probabilidades satisfazem
p_X(x_i)\ge 0\quad\text{para todo }i
e
\sum_{i} p_X(x_i)=1.

Passo 4

O que é a pmf e como usá-la: a pmf p_X dá a probabilidade de cada valor isolado. Para calcular a probabilidade de um evento que é união de valores (por exemplo, X pertence a um subconjunto A\subset S) somamos as pmf nesses valores:
\mathbb{P}(X\in A)=\sum_{x\in A} p_X(x).
Exemplo concreto (retirado de um cenário simples): se X representa o resultado de um dado justo de seis faces, então S=\{1,2,3,4,5,6\} e
p_X(k)=\frac{1}{6}\quad\text{para }k=1,\dots,6.
Logo, a probabilidade de X ser par é
\mathbb{P}(X\text{ é par})=p_X(2)+p_X(4)+p_X(6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.é

Passo 5

Função de distribuição acumulada (CDF) para o caso discreto: a CDF de X é
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\sum_{t\in S,\,t\le x} p_X(t).
No discreto, F_X é uma função em degraus: tem saltos exatamente nos pontos de S, e o tamanho do salto em x_i é p_X(x_i).

Passo 6

Medidas de posição e dispersão (como usar na prova): para uma variável discreta X a esperança e a variância são dadas por
\mathbb{E}[X]=\sum_{x\in S} x\,p_X(x),
\mathrm{Var}(X)=\sum_{x\in S} (x-\mathbb{E}[X])^{2} p_X(x).
Exemplo com o dado justo:
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^{6} k\cdot\frac{1}{6}= \frac{1+2+3+4+5+6}{6}= \frac{21}{6}=3,5,
e
\mathrm{Var}(X)=\sum_{k=1}^{6} (k-3,5)^{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{35}{12}\approx 2,9167.

Passo 7

Dicas práticas para identificar e trabalhar com variáveis discretas em provas:
  • Procure palavras como “número de”, “contar”, “quantos”, “resultado do dado”, “número de sucessos” — isso costuma indicar discreto.
  • Verifique se é possível listar os valores possíveis (ex.: 0,1,2,\dots ou um conjunto finito). Se sim, trate como discreto.
  • Use a pmf para somar probabilidades de eventos; não tente integrar (integração é para contínuo).
  • Para esperança e variância, pense em “média ponderada” dos valores com pesos p_X(x).
  • Se a questão der uma tabela ou imagem com valores e probabilidades, use exatamente esses números (diga explicitamente que pegou da tabela/imagem quando for o caso).

Resposta

Uma variável aleatória discreta é uma função X que associa um número a cada resultado de um experimento aleatório e que só pode assumir valores de um conjunto enumerável S=\{x_1,x_2,\dots\}; cada valor x_i tem uma probabilidade p_X(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i) (a pmf), com p_X(x_i)\ge0 e \sum_i p_X(x_i)=1.

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