Encontre os quartis, (b) encontre a amplitude interquartil e (c) identifique quaisquer outliers.
22 25 22 24 20 24 19 22 29 21 21 20 23 25 23 23 21 25 23 22

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o conjunto de dados abaixo: encontrar os quartis, encontrar a amplitude interquartil e identificar quaisquer outliers. Os dados fornecidos são:
22,\;25,\;22,\;24,\;20,\;24,\;19,\;22,\;29,\;21,\;21,\;20,\;23,\;25,\;23,\;23,\;21,\;25,\;23,\;22
Lista todas as informações relevantes que temos:
\text{número de observações } n = ?úçõ
\text{os próprios valores (acima)}ó
Não vamos resolver nada ainda; apenas registrei o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente e contar quantas observações há. Ordenando, obtemos:
19,\;20,\;20,\;21,\;21,\;21,\;22,\;22,\;22,\;22,\;23,\;23,\;23,\;23,\;24,\;24,\;25,\;25,\;25,\;29
Contando os termos vemos que n=20 (ou seja, temos vinte observações).

Passo 3

Agora explico o que é a mediana (que será o quartil Q_2). A mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas partes iguais. Para n par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Aqui n=20 é par, logo os dois valores centrais são o décimo e o décimo primeiro termos da lista ordenada. Identificamos:
\text{10º termo} = 22,\qquad \text{11º termo} = 23.ºº
A mediana (quartil Q_2) é então
Q_2 = \frac{22+23}{2} = \frac{45}{2} = 22,5.
Breve comentário didático: quando n é par, não existe um único termo exatamente no meio, por isso se tira a média dos dois do meio.

Passo 4

Explico agora o que vamos adotar para Q_1 e Q_3. Uma forma básica e muito usada é:
  • Para n par, dividir a amostra ordenada em duas metades iguais (primeiros n/2 valores e últimos n/2 valores) e calcular a mediana de cada metade. Vou usar esse método porque é o mais direto para provas sem ambiguidades aqui.
    A metade inferior (primeiros 10 valores) é:
19,\;20,\;20,\;21,\;21,\;21,\;22,\;22,\;22,\;22.
Para achar Q_1 (mediana da metade inferior), como essa metade tem 10 valores (par), tomamos a média do 5º e 6º termos dessa metade. Esses termos são:
\text{5º da metade inferior} = 21,\qquad \text{6º da metade inferior} = 21.ºº
Logo
Q_1 = \frac{21+21}{2} = 21.

Passo 5

A metade superior (últimos 10 valores) é:
23,\;23,\;23,\;23,\;24,\;24,\;25,\;25,\;25,\;29.
Para achar Q_3 (mediana da metade superior), tomamos a média do 5º e 6º termos dessa metade (porque são 10 valores). Esses termos são:
\text{5º da metade superior} = 24,\qquad \text{6º da metade superior} = 24.ºº
Logo
Q_3 = \frac{24+24}{2} = 24.

Passo 6

Agora a amplitude interquartil (IQR). Definição e interpretação: a amplitude interquartil mede a dispersão central dos dados e é dada por
\text{IQR} = Q_3 - Q_1,
onde Q_1 é o primeiro quartil e Q_3 o terceiro quartil. Substituindo os valores encontrados:
\text{IQR} = 24 - 21 = 3.
Interpretação breve: 50\% dos dados estão contidos no intervalo dos quartis [21,\,24], que tem largura 3.

Passo 7

Identificar outliers usando a regra de Tukey (muito usada em provas): pontos são considerados outliers se estiverem abaixo da cerca inferior
\text{Limite inferior} = Q_1 - 1{,}5\cdot\text{IQR}
ou acima da cerca superior
\text{Limite superior} = Q_3 + 1{,}5\cdot\text{IQR}.
Calculando numericamente:
\text{Limite inferior} = 21 - 1{,}5\cdot 3 = 21 - 4{,}5 = 16{,}5,
\text{Limite superior} = 24 + 1{,}5\cdot 3 = 24 + 4{,}5 = 28{,}5.
Qualquer observação <16{,}5 ou >28{,}5 é considerada outlier. Olhando a lista ordenada, o único valor maior que 28{,}5 é 29. Não há valores menores que 16{,}5. Portanto o único outlier segundo essa regra é 29.

Resposta

Q_1 = 21, Q_2 = 22{,}5, Q_3 = 24
\text{IQR} = 3
Outlier(s): 29

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