Exemplo 7.1.1. Seja f(x, y)=x+y e B o conjunto de todos os ( x, y ) tais que x^{2}+y^{2} \leq 1. Note que pelo teorema anterior a função é integrável já que f é contínua e a curva x^{2}+y^{2}=1 possui conteúdo nulo. Para verificar essa última afirmação para cada t \in[0,2 \pi] o ponto ( \cos (t), sen (t) ) pertence a curva, seja t_{0}=0, t_{1}, \ldots, t_{n-1}, t_{n}= 2 \pi uma divisão em n partes iguais do intervalo [0,2 \pi]. Para cada t_{i} seja r_{n}= \left\|\left(\cos \left(t_{0}\right), \operatorname{sen}\left(t_{0}\right)\right)-\left(\cos \left(t_{1}\right), \operatorname{sen}\left(t_{1}\right)\right)\right\| e considere o retângulo R_{t_{i}}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\cos \left(t_{i}\right)-r_{n} \leq x, y \leq \cos \left(t_{i}\right)+r_{n}\right\}, conforme for aumentando a quantidade de pontos no intervalo [0,2 \pi] a área dos retângulos irão diminuir.

Passo 1

O problema quer mostrar que a curva \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\} tem conteúdo (área) nulo, construindo-se uma cobertura por retângulos cujo volume total tende a zero. A partir daí, como f(x,y)=x+y é contínua, pelo teorema a função é integrável sobre o disco B=\{x^2+y^2\le1\}.

Passo 2

Parametrizamos a curva pelo ângulo t\in[0,2\pi]:
P(t) = (\cos t,\;\sin t).
Dividimos [0,2\pi] em n subintervalos iguais de comprimento \Delta t = \tfrac{2\pi}{n}. Seja t_i = i\,\Delta t para i=0,1,\dots,n.

Passo 3

A distância entre pontos consecutivos é
r_n \;=\;\big\|P(t_i)-P(t_{i+1})\big\| \;=\;\big\|(\cos t_i,\sin t_i)-(\cos t_{i+1},\sin t_{i+1})\big\| \;=\;2\sin\!\bigl(\tfrac{\Delta t}{2}\bigr) \;=\;2\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 4

Em cada ponto P(t_i) construímos o quadrado
R_{t_i} = \bigl\{(x,y)\colon \cos t_i - r_n \le x \le \cos t_i + r_n,\;\sin t_i - r_n \le y \le \sin t_i + r_n\bigr\}.
Cada R_{t_i} tem lado de comprimento 2r_n, logo área
\mathrm{Area}(R_{t_i}) = (2r_n)^2 = 4\,r_n^2.

Passo 5

A união \bigcup_{i=0}^{n-1}R_{t_i} cobre toda a curva x^2+y^2=1. O volume total dessa cobertura é
\sum_{i=0}^{n-1}4\,r_n^2 \;=\;4n\,r_n^2 \;=\;4n\bigl(2\sin(\tfrac{\pi}{n})\bigr)^2 \;=\;16\,n\,\sin^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).

Passo 6

Como \sin(x)\le x para todo x\ge0, temos
16\,n\,\sin^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) \;\le\;16\,n\,\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)^2 \;=\;\frac{16\pi^2}{n},
que tende a zero quando n\to\infty. Assim, para qualquer \varepsilon>0 existe n tal que o volume total da cobertura é <\varepsilon, provando que a curva tem conteúdo nulo.

Passo 7

Concluímos que a fronteira do disco B tem área zero. Como f(x,y)=x+y é contínua em B, segue pelo teorema de integrabilidade que f é integrável sobre B.

Resposta

A curva x^2+y^2=1 possui conteúdo nulo, e portanto f(x,y)=x+y é integrável em B.

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