Exemplo 7.1.1. Seja f(x, y)=x+y e B o conjunto de todos os ( x, y ) tais que x^{2}+y^{2} \leq 1. Note que pelo teorema anterior a função é integrável já que f é contínua e a curva x^{2}+y^{2}=1 possui conteúdo nulo. Para verificar essa última afirmação para cada t \in[0,2 \pi] o ponto ( \cos (t), sen (t) ) pertence a curva, seja t_{0}=0, t_{1}, \ldots, t_{n-1}, t_{n}= 2 \pi uma divisão em n partes iguais do intervalo [0,2 \pi]. Para cada t_{i} seja r_{n}= \left\|\left(\cos \left(t_{0}\right), \operatorname{sen}\left(t_{0}\right)\right)-\left(\cos \left(t_{1}\right), \operatorname{sen}\left(t_{1}\right)\right)\right\| e considere o retângulo R_{t_{i}}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\cos \left(t_{i}\right)-r_{n} \leq x, y \leq \cos \left(t_{i}\right)+r_{n}\right\}, conforme for aumentando a quantidade de pontos no intervalo [0,2 \pi] a área dos retângulos irão diminuir.
Passo 1
O problema quer mostrar que a curva \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\} tem conteúdo (área) nulo, construindo-se uma cobertura por retângulos cujo volume total tende a zero. A partir daí, como f(x,y)=x+y é contínua, pelo teorema a função é integrável sobre o disco B=\{x^2+y^2\le1\}.
Passo 2
Parametrizamos a curva pelo ângulo t\in[0,2\pi]:
P(t) = (\cos t,\;\sin t).
Dividimos [0,2\pi] em n subintervalos iguais de comprimento \Delta t = \tfrac{2\pi}{n}. Seja t_i = i\,\Delta t para i=0,1,\dots,n.
que tende a zero quando n\to\infty. Assim, para qualquer \varepsilon>0 existe n tal que o volume total da cobertura é <\varepsilon, provando que a curva tem conteúdo nulo.
Passo 7
Concluímos que a fronteira do disco B tem área zero. Como f(x,y)=x+y é contínua em B, segue pelo teorema de integrabilidade que f é integrável sobre B.
Resposta
A curva x^2+y^2=1 possui conteúdo nulo, e portanto f(x,y)=x+y é integrável em B.