Exercício 6.3.1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y)=
x e^{-2 x^{2}-2 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para estudar máximos e mínimos locais da função
f(x,y)=x\,e^{-2x^{2}-2y^{2}}.
O método geral é: (1) calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e encontrar os pontos críticos onde ambas são zero; (2) usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico em máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Seja g(x,y)=e^{-2x^{2}-2y^{2}}. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,g\bigr) =g + x\,\frac{\partial g}{\partial x} =e^{-2x^{2}-2y^{2}} + x\bigl(-4x\,e^{-2x^{2}-2y^{2}}\bigr) =e^{-2R}(1-4x^{2}),
onde R=x^{2}+y^{2}. De modo semelhante,
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,\frac{\partial g}{\partial y} =x\bigl(-4y\,e^{-2x^{2}-2y^{2}}\bigr) =-4xy\,e^{-2R}.
Para achar pontos críticos, impomos
\frac{\partial f}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-4x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac12,
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad -4xy\,e^{-2R}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,y=0.
A única combinação que satisfaz ambas é y=0 e x=\pm\frac12. Logo os pontos críticos são
\Bigl(\tfrac12,0\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac12,0\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana. A Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Já tínhamos
f_{x} =e^{-2R}(1-4x^{2}), \quad f_{y} =-4xy\,e^{-2R}.
Diferenciando de novo,
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{-2R}(1-4x^{2})\bigr] =e^{-2R}\bigl(16x^{3}-12x\bigr) =4x\,e^{-2R}(4x^{2}-3),
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[-4xy\,e^{-2R}\bigr] =-4x\,e^{-2R}(1-4y^{2}),
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{-2R}(1-4x^{2})\bigr] =-4y\,e^{-2R}(1-4x^{2}).
Nos pontos críticos y=0 e x=\pm\tfrac12, temos f_{xy}=0. Além disso, e^{-2R}=e^{-1/2} em ambos. Então:
Para \bigl(\tfrac12,0\bigr):
f_{xx} =4\Bigl(\tfrac12\Bigr)e^{-1/2}\Bigl(4\cdot\tfrac14-3\Bigr) =2e^{-1/2}(1-3)=-4e^{-1/2}, \quad f_{yy}=-4\Bigl(\tfrac12\Bigr)e^{-1/2}= -2,
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} =(-4e^{-1/2})(-2)-0 =8e^{-1/2}>0.
Como D>0 e f_{xx}<0, concluímos que \bigl(\tfrac12,0\bigr) é máximo local.
Para \bigl(-\tfrac12,0\bigr):
f_{xx} =4\Bigl(-\tfrac12\Bigr)e^{-1/2}(1-3) =4e^{-1/2}, \quad f_{yy}=2,
D=(4e^{-1/2})(2)-0 =8e^{-1/2}>0.
Aqui D>0 e f_{xx}>0, logo \bigl(-\tfrac12,0\bigr) é mínimo local.]

Resposta

O único máximo local é em \bigl(\tfrac12,0\bigr), com valor
f\Bigl(\tfrac12,0\Bigr)=\tfrac12\,e^{-1/2}.
O único mínimo local é em \bigl(-\tfrac12,0\bigr), com valor
f\Bigl(-\tfrac12,0\Bigr)=-\tfrac12\,e^{-1/2}.

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