Exercício 6.3.1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função
Passo 1
O enunciado pede para estudar máximos e mínimos locais da função
O método geral é: (1) calcular as derivadas parciais
e
e encontrar os pontos críticos onde ambas são zero; (2) usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico em máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Seja
. Então
onde
. De modo semelhante,
Para achar pontos críticos, impomos
A única combinação que satisfaz ambas é
e
. Logo os pontos críticos são
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana. A Hessiana é
Já tínhamos
Diferenciando de novo,
Nos pontos críticos
e
, temos
. Além disso,
em ambos. Então:
Para
:
Como
e
, concluímos que
é máximo local.
Para
:
Aqui
e
, logo
é mínimo local.]
Resposta
O único máximo local é em
, com valor
O único mínimo local é em
, com valor