EXEMPLO 3. Seja f(x)=k uma função constante. Mostre que f(x)=0 para todo x. (A derivada de uma constante é zero.)

Passo 1

O enunciado dá uma função constante e pede para mostrar o que segue. Informação fornecida:
  • A função é f(x)=k, onde k é uma constante (ou seja, o mesmo número para todo x).
O que a questão pede:
  • Mostrar que a derivada de f é zero para todo x. Em outras palavras, provar que \,f'(x)=0 para todo x.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada (do tipo mais básico, “a partir do limite”): a derivada de f num ponto a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Expliquei isso para que fique claro o que vou calcular: a derivada é o limite da razão entre a variação de f e a variação de x quando essa variação de x tende a zero.

Passo 3

Agora aplico essa definição ao caso f(x)=k. Para qualquer ponto a e qualquer incremento h (com h\neq0), temos
f(a+h)=k \qquad\text{e}\qquad f(a)=k,
porque a função sempre vale k independentemente do argumento.

Passo 4

Substituo essas avaliações na razão incremental:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\qquad\text{para todo }h\neq0.
Ou seja, a razão incremental é exatamente 0 para todo h diferente de zero.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to0. Como a expressão da razão incremental é identicamente 0 para todos os h (exceto possivelmente h=0, onde não faz sentido dividir), o limite é simplesmente 0:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0}0=0.

Passo 6

A conclusão anterior vale para qualquer ponto a escolhido arbitrariamente. Portanto a derivada é zero em todos os pontos do domínio:
\text{para todo }x,\qquad f'(x)=0.
Intuição rápida: uma função constante não “muda” quando x varia, logo sua taxa de variação instantânea é nula.

Resposta

f'(x)=0 para todo x.

Exercícios relacionados