EXEMPLO 3. Seja
uma função constante. Mostre que
para todo
. (A derivada de uma constante é zero.)
Passo 1
O enunciado dá uma função constante e pede para mostrar o que segue. Informação fornecida:
- A função é
, onde é uma constante (ou seja, o mesmo número para todo ).
O que a questão pede:
- Mostrar que a derivada de
é zero para todo . Em outras palavras, provar que para todo .
Passo 2
Lembrando a definição de derivada (do tipo mais básico, “a partir do limite”): a derivada de
num ponto
é
Expliquei isso para que fique claro o que vou calcular: a derivada é o limite da razão entre a variação de
e a variação de
quando essa variação de
tende a zero.
Passo 3
Agora aplico essa definição ao caso
. Para qualquer ponto
e qualquer incremento
(com
), temos
porque a função sempre vale
independentemente do argumento.
Passo 4
Substituo essas avaliações na razão incremental:
Ou seja, a razão incremental é exatamente
para todo
diferente de zero.
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Como a expressão da razão incremental é identicamente
para todos os
(exceto possivelmente
, onde não faz sentido dividir), o limite é simplesmente
:
Passo 6
A conclusão anterior vale para qualquer ponto
escolhido arbitrariamente. Portanto a derivada é zero em todos os pontos do domínio:
Intuição rápida: uma função constante não “muda” quando
varia, logo sua taxa de variação instantânea é nula.