a rapidez (norma da velocidade) \|\mathbf{v}(t)\|;
observações sobre existências e comportamento em t=0.
Não vamos resolver nada ainda — só listei o que o enunciado fornece e o que será pedido implicitamente.
Passo 2
Primeira observação importante (domínio e formato útil para derivar). Reescrevemos as componentes usando potências, que facilitam a diferenciação:
y(t)=2t^{1/2},\qquad z(t)=4t^{1/3}.
Como \sqrt{t} exige t\ge 0, o domínio natural desta trajetória é t\ge 0. Para derivar normalmente, precisamos de t>0 (porque aparecerão potências negativas); então as fórmulas simples de derivada serão válidas para t>0. Tratamos t=0 à parte depois.
Passo 3
Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aula rápida): a regra da potência.
Se f(t)=t^{n} com n real, então
f'(t)=n t^{n-1}.
Exemplos rápidos: se f(t)=t^{2} então f'(t)=2t. Se f(t)=t^{1/2} então f'(t)=\tfrac{1}{2} t^{-1/2}. Se f(t)=t^{1/3} então f'(t)=\tfrac{1}{3} t^{-2/3}.
Também: ao derivar uma constante multiplicando uma função, a constante sai por fator: se g(t)=c\cdot h(t) então g'(t)=c\cdot h'(t).
Passo 4
Agora calculamos a velocidade componente a componente aplicando a regra da potência.
Essa é a velocidade vetorial — cada componente é a derivada temporal da posição correspondente.
Passo 5
Comentário sobre t=0 (existência da velocidade no instante inicial). Olhando para as componentes:
\dfrac{d}{dt}x\big|_{t=0}=0 (válido).
\dfrac{d}{dt}y e \dfrac{d}{dt}z têm expoentes negativos (t^{-1/2}, t^{-2/3}), que tendem para +\infty quando t\to 0^{+}. Ou seja, as derivadas não são finitas em t=0. Conclusão: a fórmula de \mathbf{v}(t) que obtivemos vale para t>0; no instante t=0 a velocidade clássica (finita) não existe porque as componentes vertical e a do terceiro eixo divergem ao nos aproximarmos de 0.
Passo 6
Agora a rapidez (norma da velocidade). A norma eu calculo com a fórmula da norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}:
Essa expressão é válida para t>0. Ela mostra explicitamente como a rapidez cresce muito quando t fica pequeno (os termos com potências negativas dominam).
Passo 7
Agora obtemos a aceleração vetorial \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) derivando \mathbf{v}(t) componente a componente (novamente a regra da potência).
Essa expressão dá a direção instantânea do movimento; não é necessário simplificá-la mais para a maioria dos exercícios de prova.
Passo 9
Resumo interpretativo e dicas para prova:
Sempre reescreva raízes como potências (t^{1/2},t^{1/3}) para aplicar a regra da potência com facilidade.
Verifique o domínio antes de derivar: aqui tínhamos t\ge 0 e as fórmulas de derivada com potências negativas só valem para t>0.
Se surgir t=0 no enunciado, cheque se a derivada existe finitamente; se as derivadas de componentes divergirem, diga que a velocidade não é definida em t=0.
Para calcular rapidez, use a norma euclidiana; para direção, divida o vetor velocidade pela sua norma.