No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por
x(t)=t^{2}, \quad y(t)=2 \sqrt{t}, \quad z(t)=4 \sqrt[3]{t}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no instante t por três coordenadas:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=2\sqrt{t},\qquad z(t)=4\sqrt[3]{t}.
O que vamos calcular e explicar passo a passo:
  • a velocidade vetorial \mathbf{v}(t);
  • a aceleração vetorial \mathbf{a}(t);
  • a rapidez (norma da velocidade) \|\mathbf{v}(t)\|;
  • observações sobre existências e comportamento em t=0.
Não vamos resolver nada ainda — só listei o que o enunciado fornece e o que será pedido implicitamente.

Passo 2

Primeira observação importante (domínio e formato útil para derivar). Reescrevemos as componentes usando potências, que facilitam a diferenciação:
y(t)=2t^{1/2},\qquad z(t)=4t^{1/3}.
Como \sqrt{t} exige t\ge 0, o domínio natural desta trajetória é t\ge 0. Para derivar normalmente, precisamos de t>0 (porque aparecerão potências negativas); então as fórmulas simples de derivada serão válidas para t>0. Tratamos t=0 à parte depois.

Passo 3

Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aula rápida): a regra da potência.
Se f(t)=t^{n} com n real, então
f'(t)=n t^{n-1}.
Exemplos rápidos: se f(t)=t^{2} então f'(t)=2t. Se f(t)=t^{1/2} então f'(t)=\tfrac{1}{2} t^{-1/2}. Se f(t)=t^{1/3} então f'(t)=\tfrac{1}{3} t^{-2/3}.
Também: ao derivar uma constante multiplicando uma função, a constante sai por fator: se g(t)=c\cdot h(t) então g'(t)=c\cdot h'(t).

Passo 4

Agora calculamos a velocidade componente a componente aplicando a regra da potência.
Para x(t)=t^{2}:
\frac{d}{dt}t^{2}=2t.
Para y(t)=2t^{1/2}:
\frac{d}{dt}\bigl(2t^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}=t^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{t}}.
Para z(t)=4t^{1/3}:
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{1/3}\bigr)=4\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}=\frac{4}{3}t^{-2/3}.
Portanto, para t>0,
\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\; t^{-1/2},\; \tfrac{4}{3}t^{-2/3}\rangle.
Essa é a velocidade vetorial — cada componente é a derivada temporal da posição correspondente.

Passo 5

Comentário sobre t=0 (existência da velocidade no instante inicial). Olhando para as componentes:
  • \dfrac{d}{dt}x\big|_{t=0}=0 (válido).
  • \dfrac{d}{dt}y e \dfrac{d}{dt}z têm expoentes negativos ( t^{-1/2}, t^{-2/3}), que tendem para +\infty quando t\to 0^{+}. Ou seja, as derivadas não são finitas em t=0. Conclusão: a fórmula de \mathbf{v}(t) que obtivemos vale para t>0; no instante t=0 a velocidade clássica (finita) não existe porque as componentes vertical e a do terceiro eixo divergem ao nos aproximarmos de 0.

Passo 6

Agora a rapidez (norma da velocidade). A norma eu calculo com a fórmula da norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(v_x(t))^{2}+(v_y(t))^{2}+(v_z(t))^{2}}.
Substituindo as componentes que achamos:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+\bigl(t^{-1/2}\bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{-2/3}\Bigr)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+t^{-1}+\tfrac{16}{9}t^{-4/3}}.
Essa expressão é válida para t>0. Ela mostra explicitamente como a rapidez cresce muito quando t fica pequeno (os termos com potências negativas dominam).

Passo 7

Agora obtemos a aceleração vetorial \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) derivando \mathbf{v}(t) componente a componente (novamente a regra da potência).
Para v_x(t)=2t:
\frac{d}{dt}(2t)=2.
Para v_y(t)=t^{-1/2}:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-1/2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}.
Para v_z(t)=\tfrac{4}{3}t^{-2/3}:
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{-2/3}\Bigr)=\tfrac{4}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)t^{-5/3}=-\tfrac{8}{9}t^{-5/3}.
Portanto, para t>0,
\mathbf{a}(t)=\langle 2,\; -\tfrac{1}{2}t^{-3/2},\; -\tfrac{8}{9}t^{-5/3}\rangle.

Passo 8

Unidade do vetor tangente (opcional, para saber a direção do movimento): o versor tangente \mathbf{T}(t) é dado por
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|},
ou seja,
\mathbf{T}(t)=\frac{\langle 2t,\; t^{-1/2},\; \tfrac{4}{3}t^{-2/3}\rangle}{\sqrt{4t^{2}+t^{-1}+\tfrac{16}{9}t^{-4/3}}},\qquad t>0.
Essa expressão dá a direção instantânea do movimento; não é necessário simplificá-la mais para a maioria dos exercícios de prova.

Passo 9

Resumo interpretativo e dicas para prova:
  • Sempre reescreva raízes como potências ( t^{1/2},t^{1/3}) para aplicar a regra da potência com facilidade.
  • Verifique o domínio antes de derivar: aqui tínhamos t\ge 0 e as fórmulas de derivada com potências negativas só valem para t>0.
  • Se surgir t=0 no enunciado, cheque se a derivada existe finitamente; se as derivadas de componentes divergirem, diga que a velocidade não é definida em t=0.
  • Para calcular rapidez, use a norma euclidiana; para direção, divida o vetor velocidade pela sua norma.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\; t^{-1/2},\; \tfrac{4}{3}t^{-2/3}\rangle,\\ t>0
\mathbf{a}(t)=\langle 2,\; -\tfrac{1}{2}t^{-3/2},\; -\tfrac{8}{9}t^{-5/3}\rangle,\\ t>0
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{4t^{2}+t^{-1}+\tfrac{16}{9}t^{-4/3}},\\ t>0

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