Sejam
e
dois vetores constantes. Determine o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá duas funções posição dependentes do tempo e pede o vetor velocidade correspondente a cada uma. Informações e perguntas claras:
- Dados: vetores constantes
e . - Funções posição:
-
. -
.
-
- Pedido: determinar o vetor velocidade de cada movimento, ou seja calcular
para e para .
Passo 2
Lembrete didático sobre derivada de funções vetoriais (passo-a-passo bem mastigado).
- Definição (em termos de limite): para uma função posição
,
Essa derivada é tomada componente a componente: se
então
- Regras úteis (que usaremos):
- Derivada de vetor constante: se
é constante então
porque para todo .
2. Regra da constante multiplicando função escalar: para função escalare vetor constante , Isso vem de e tomando limite.
3. Regra da soma:. - Derivada de vetor constante: se
Passo 3
Aplicando as regras ao caso (a).
- Escrevemos
. - Usando a regra da soma:
- Sabendo que
(porque é constante) e que , pela regra da constante multiplicando escalar:
- Portanto, juntando:
Interpretação rápida (útil na prova): o movimento descrito por
é retilíneo uniforme com velocidade constante
.
Passo 4
Aplicando as regras ao caso (b).
- Escrevemos
. - Pela linearidade da derivada:
- Use a regra do escalar:
e . Como e são constantes:
- Somando:
Interpretação rápida: velocidade que varia linearmente com
; em componentes, cada componente tem derivada
.
Passo 5
Dicas de prova e checagens rápidas (mini-aula aplicada):
- Em qualquer questão parecida, proceda componentemente: se
e , então por exemplo para (b)
e derivando componente a componente obtém-se exatamente
, que é a mesma forma vetorial
.
- Se estiver sem calculadora na prova, lembre: derivadas polinomiais são fáceis:
e constantes saem da derivada multiplicando o resultado.
Resposta
(a)
(b)