Sejam \vec{a} e \vec{b} dois vetores constantes. Determine o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
(a) \vec{r}_{1}(t)=\vec{a}+t \vec{b}.
(b) \vec{r}_{2}(t)=\vec{a} t^{2}+\vec{b} t.

Passo 1

O enunciado dá duas funções posição dependentes do tempo e pede o vetor velocidade correspondente a cada uma. Informações e perguntas claras:
  • Dados: vetores constantes \vec{a} e \vec{b}.
  • Funções posição:
    • \vec{r}_{1}(t)=\vec{a}+t\vec{b}.
    • \vec{r}_{2}(t)=\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t.
  • Pedido: determinar o vetor velocidade de cada movimento, ou seja calcular \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} para \vec{r}_{1} e para \vec{r}_{2}.

Passo 2

Lembrete didático sobre derivada de funções vetoriais (passo-a-passo bem mastigado).
  • Definição (em termos de limite): para uma função posição \vec{r}(t),
\frac{d\vec{r}}{dt}=\lim_{h\to0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}.
Essa derivada é tomada componente a componente: se \vec{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)) então
\frac{d\vec{r}}{dt}=\left(\frac{dr_1}{dt},\frac{dr_2}{dt},\frac{dr_3}{dt}\right).
  • Regras úteis (que usaremos):
    1. Derivada de vetor constante: se \vec{c} é constante então
    \frac{d\vec{c}}{dt}=\vec{0},porque \dfrac{\vec{c}-\vec{c}}{h}=\vec{0} para todo h.
    2. Regra da constante multiplicando função escalar: para função escalar f(t) e vetor constante \vec{b}, \frac{d}{dt}\big(f(t)\vec{b}\big)=f'(t)\,\vec{b}.Isso vem de \frac{f(t+h)\vec{b}-f(t)\vec{b}}{h}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\,\vec{b}e tomando limite.
    3. Regra da soma: \dfrac{d}{dt}(\vec{u}(t)+\vec{w}(t))=\dfrac{d\vec{u}}{dt}+\dfrac{d\vec{w}}{dt}.

Passo 3

Aplicando as regras ao caso (a).
  • Escrevemos \vec{r}_{1}(t)=\vec{a}+t\vec{b}.
  • Usando a regra da soma:
\frac{d\vec{r}_{1}}{dt}=\frac{d\vec{a}}{dt}+\frac{d}{dt}\big(t\vec{b}\big).
  • Sabendo que \dfrac{d\vec{a}}{dt}=\vec{0} (porque \vec{a} é constante) e que \dfrac{d}{dt}(t)=1, pela regra da constante multiplicando escalar:
\frac{d}{dt}\big(t\vec{b}\big)=1\cdot\vec{b}=\vec{b}.
  • Portanto, juntando:
\frac{d\vec{r}_{1}}{dt}=\vec{0}+\vec{b}=\vec{b}.
Interpretação rápida (útil na prova): o movimento descrito por \vec{r}_{1}(t) é retilíneo uniforme com velocidade constante \vec{b}.

Passo 4

Aplicando as regras ao caso (b).
  • Escrevemos \vec{r}_{2}(t)=\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t.
  • Pela linearidade da derivada:
\frac{d\vec{r}_{2}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\vec{a}\,t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(\vec{b}\,t\big).
  • Use a regra do escalar: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t e \dfrac{d}{dt}(t)=1. Como \vec{a} e \vec{b} são constantes:
\frac{d}{dt}\big(\vec{a}\,t^{2}\big)=2t\,\vec{a},\qquad \frac{d}{dt}\big(\vec{b}\,t\big)=1\cdot\vec{b}=\vec{b}.
  • Somando:
\frac{d\vec{r}_{2}}{dt}=2t\,\vec{a}+\vec{b}.
Interpretação rápida: velocidade que varia linearmente com t; em componentes, cada componente tem derivada 2t a_i + b_i.

Passo 5

Dicas de prova e checagens rápidas (mini-aula aplicada):
  • Em qualquer questão parecida, proceda componentemente: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então por exemplo para (b)
\vec{r}_2(t)=(a_1 t^2 + b_1 t,\; a_2 t^2 + b_2 t,\; a_3 t^2 + b_3 t)
e derivando componente a componente obtém-se exatamente (2t a_1 + b_1,\;2t a_2 + b_2,\;2t a_3 + b_3), que é a mesma forma vetorial \,2t\vec{a}+\vec{b}.
  • Se estiver sem calculadora na prova, lembre: derivadas polinomiais são fáceis: \dfrac{d}{dt}(t^n)=n t^{n-1} e constantes saem da derivada multiplicando o resultado.

Resposta

(a) \vec{v}_{1}(t)=\vec{b}
(b) \vec{v}_{2}(t)=2t\,\vec{a}+\vec{b}

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