Exemplo 4.5.2. Seja f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}. Determine \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
e pede as derivadas parciais mistas \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.
O conteúdo necessário envolve derivadas parciais de ordem 1 e 2, usando a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} = -1\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 2x = -2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y para obter \displaystyle f_{xy}:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[-2x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\bigr] = -2x\cdot\bigl(-2\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2y = 8xy\,(x^{2}+y^{2})^{-3}.

Passo 4

De modo análogo, começamos por
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1} = -2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2},
e então derivamos em relação a x:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[-2y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\bigr] = -2y\cdot\bigl(-2\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2x = 8xy\,(x^{2}+y^{2})^{-3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = \frac{8xy}{(x^{2}+y^{2})^{3}} \quad e \quad \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} = \frac{8xy}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,.

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