Exemplo 2.1. Sejam
\begin{aligned} & f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\\ & \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)=x+x^{2} \quad \wedge \quad g(x)=x . \end{aligned}
Tem-se
\forall x \in \mathbb{R} \quad\left\{\begin{array}{l} (f+g)(x)=2 x+x^{2} \\\ (f-g)(x)=x^{2} \\\ (f \cdot g)(x)=x\left(x+x^{2}\right) \end{array}\right.
Quanto à função quociente \frac{f}{g}, tem por domínio o conjunto
A=\{x \in \mathbb{R} ; g(x)=x \neq 0\}=\mathbb{R} \backslash\{0\}
e é dada por
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \quad\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+x^{2}}{x}=x+1 .
Já a função \frac{g}{f} está definida em
B=\left\{x \in \mathbb{R} ; f(x)=x+x^{2} \neq 0\right\}=\{x \in \mathbb{R} ; x(1+x) \neq 0\}=\mathbb{R} \backslash\{0,-1\}
e
\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0,-1\} \quad\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{1}{1+x}

Passo 1

Dados do enunciado: temos duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definidas por
\forall x\in\mathbb{R}\qquad f(x)=x+x^{2}\quad\wedge\quad g(x)=x.
O que o exercício pede (lista explícita das perguntas):
\begin{aligned} &\text{1) Calcular }(f+g)(x).\\\ &\text{2) Calcular }(f-g)(x).\\\ &\text{3) Calcular }(f\cdot g)(x).\\\ &\text{4) Determinar o domínio de }\frac{f}{g}\text{ e a expressão } \left(\frac{f}{g}\right)(x).\\\ &\text{5) Determinar o domínio de }\frac{g}{f}\text{ e a expressão } \left(\frac{g}{f}\right)(x). \end{aligned}íãíã

Passo 2

Lembrete didático (definição das operações entre funções, ponto a ponto): se u e v são funções reais, então, para todo x em que as expressões fazem sentido,
\begin{aligned} &(u+v)(x)=u(x)+v(x),\\\ &(u-v)(x)=u(x)-v(x),\\\ &(u\cdot v)(x)=u(x)\cdot v(x),\\\ &\left(\frac{u}{v}\right)(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\quad\text{desde que }v(x)\neq 0. \end{aligned}
Explicação: essas operações são feitas ponto a ponto — ou seja, para cada x você aplica as duas funções e combina os resultados com a operação aritmética correspondente. No caso de quociente, é obrigatório excluir os x onde o denominador vale 0, porque divisão por zero não é definida.

Passo 3

Calcular (f+g)(x) usando a definição:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+x^{2})+x.
Agora somamos termos semelhantes (termos em x^{2} e termos em x):
(x+x^{2})+x = x^{2} + x + x = x^{2} + 2x.
Portanto (f+g)(x)=x^{2}+2x. (Reescrito em ordem decrescente de potência: 2x+x^{2} é equivalente a x^{2}+2x.)

Passo 4

Calcular (f-g)(x) usando a definição:
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x+x^{2})-x.
Subtraindo x de x+x^{2} cancela os termos x:
(x+x^{2})-x = x^{2}.
Logo (f-g)(x)=x^{2}.

Passo 5

Calcular (f\cdot g)(x):
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=(x+x^{2})\cdot x.
Multiplicamos cada termo por x:
(x+x^{2})\cdot x = x\cdot x + x^{2}\cdot x = x^{2} + x^{3}.
Portanto (f\cdot g)(x)=x^{2}+x^{3}. (Também podemos escrever fatorando x: x(x+x^{2})=x^{2}(1+x), mas a forma x^{2}+x^{3} é direta.)

Passo 6

Determinar o domínio da função quociente \dfrac{f}{g} e calcular \left(\dfrac{f}{g}\right)(x).
  1. Primeiro encontramos onde o denominador g(x) é diferente de zero:
g(x)=x\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Logo o domínio é
A=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  1. Para x\in A calculamos o quociente:
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+x^{2}}{x}.
Fatoramos o numerador para ver uma simplificação possível:
\frac{x+x^{2}}{x}=\frac{x(1+x)}{x}.
Agora, como estamos em x\neq 0, podemos cancelar o fator x comum ao numerador e denominador (regra: só cancela se esse fator não for zero):
\frac{x(1+x)}{x}=1+x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} temos
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=x+1.
Observação importante (didática): embora a expressão simplificada seja x+1, o domínio da função quociente continua sendo \mathbb{R}\setminus\{0\} — não podemos “reintroduzir” x=0 só porque x+1 está definido em 0. A restrição vem da definição original do quociente.

Passo 7

Determinar o domínio da função quociente \dfrac{g}{f} e calcular \left(\dfrac{g}{f}\right)(x).
  1. Encontramos onde o denominador f(x) é diferente de zero:
f(x)=x+x^{2}=x(1+x)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0\\ \text{ e }\\ x\neq -1.
Portanto o domínio é
B=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}.
  1. Para x\in B calculamos o quociente:
\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x}{x+x^{2}}=\frac{x}{x(1+x)}.
Como x\neq 0 em B, podemos cancelar o fator x:
\frac{x}{x(1+x)}=\frac{1}{1+x}.
Logo, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1\} vale
\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{1}{1+x}.
Novamente a observação: a expressão simplificada \dfrac{1}{1+x} está bem definida em x=0, mas x=0 continua excluído do domínio por causa da definição original de \dfrac{g}{f}.

Resposta

(f+g)(x)=x^{2}+2x
(f-g)(x)=x^{2}
(f\cdot g)(x)=x^{2}+x^{3}
\mathrm{dom}\!\left(\dfrac{f}{g}\right)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x+1\\ \text{ para }x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
\mathrm{dom}\!\left(\dfrac{g}{f}\right)=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\},\quad \left(\dfrac{g}{f}\right)(x)=\dfrac{1}{1+x}\\ \text{ para }x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}

Exercícios relacionados