O que o exercício pede (lista explícita das perguntas):
\begin{aligned} &\text{1) Calcular }(f+g)(x).\\\ &\text{2) Calcular }(f-g)(x).\\\ &\text{3) Calcular }(f\cdot g)(x).\\\ &\text{4) Determinar o domínio de }\frac{f}{g}\text{ e a expressão } \left(\frac{f}{g}\right)(x).\\\ &\text{5) Determinar o domínio de }\frac{g}{f}\text{ e a expressão } \left(\frac{g}{f}\right)(x). \end{aligned}íãíã
Passo 2
Lembrete didático (definição das operações entre funções, ponto a ponto): se u e v são funções reais, então, para todo x em que as expressões fazem sentido,
Explicação: essas operações são feitas ponto a ponto — ou seja, para cada x você aplica as duas funções e combina os resultados com a operação aritmética correspondente. No caso de quociente, é obrigatório excluir os x onde o denominador vale 0, porque divisão por zero não é definida.
Passo 3
Calcular (f+g)(x) usando a definição:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+x^{2})+x.
Agora somamos termos semelhantes (termos em x^{2} e termos em x):
(x+x^{2})+x = x^{2} + x + x = x^{2} + 2x.
Portanto (f+g)(x)=x^{2}+2x. (Reescrito em ordem decrescente de potência: 2x+x^{2} é equivalente a x^{2}+2x.)
Passo 4
Calcular (f-g)(x) usando a definição:
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x+x^{2})-x.
Subtraindo x de x+x^{2} cancela os termos x:
(x+x^{2})-x = x^{2}.
Logo (f-g)(x)=x^{2}.
Passo 5
Calcular (f\cdot g)(x):
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=(x+x^{2})\cdot x.
Multiplicamos cada termo por x:
(x+x^{2})\cdot x = x\cdot x + x^{2}\cdot x = x^{2} + x^{3}.
Portanto (f\cdot g)(x)=x^{2}+x^{3}. (Também podemos escrever fatorando x: x(x+x^{2})=x^{2}(1+x), mas a forma x^{2}+x^{3} é direta.)
Passo 6
Determinar o domínio da função quociente \dfrac{f}{g} e calcular \left(\dfrac{f}{g}\right)(x).
Primeiro encontramos onde o denominador g(x) é diferente de zero:
Fatoramos o numerador para ver uma simplificação possível:
\frac{x+x^{2}}{x}=\frac{x(1+x)}{x}.
Agora, como estamos em x\neq 0, podemos cancelar o fator x comum ao numerador e denominador (regra: só cancela se esse fator não for zero):
\frac{x(1+x)}{x}=1+x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} temos
\left(\frac{f}{g}\right)(x)=x+1.
Observação importante (didática): embora a expressão simplificada seja x+1, o domínio da função quociente continua sendo \mathbb{R}\setminus\{0\} — não podemos “reintroduzir” x=0 só porque x+1 está definido em 0. A restrição vem da definição original do quociente.
Passo 7
Determinar o domínio da função quociente \dfrac{g}{f} e calcular \left(\dfrac{g}{f}\right)(x).
Encontramos onde o denominador f(x) é diferente de zero:
f(x)=x+x^{2}=x(1+x)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0\\ \text{ e }\\ x\neq -1.
Logo, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1\} vale
\left(\frac{g}{f}\right)(x)=\frac{1}{1+x}.
Novamente a observação: a expressão simplificada \dfrac{1}{1+x} está bem definida em x=0, mas x=0 continua excluído do domínio por causa da definição original de \dfrac{g}{f}.
Resposta
(f+g)(x)=x^{2}+2x (f-g)(x)=x^{2} (f\cdot g)(x)=x^{2}+x^{3} \mathrm{dom}\!\left(\dfrac{f}{g}\right)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x+1\\ \text{ para }x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \mathrm{dom}\!\left(\dfrac{g}{f}\right)=\mathbb{R}\setminus\{0,-1\},\quad \left(\dfrac{g}{f}\right)(x)=\dfrac{1}{1+x}\\ \text{ para }x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}