Dê exemplo de uma série sum an que seja convergente mas que sum an^2 divirja.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma série sum an que seja convergente, mas tal que a série dos quadrados sum an^2 diverja. O assunto aqui envolve séries numéricas, em especial convergência condicional e p-séries.
Uma ferramenta essencial será o Teste de Leibniz (alternating series test) para garantir convergência condicional de uma série alternante. Também vamos usar o teste da p-série, que diz que sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Escolhemos a sequência
an = (-1)^nraizn
Com isso, a série que nos interessa é
sumn=1^infty an = sumn=1^infty (-1)^nraizn

Passo 3

Para mostrar que sum an converge, aplicamos o Teste de Leibniz. Precisamos verificar duas coisas:
  1. an alterna de sinal pelo fator (-1)^n.
  2. |an| = 1/raizn é monótona decrescente e tende a zero quando ntoinfty.
    Como ambos os requisitos estão satisfeitos, conclui-se que sum (-1)^n/raizn converge (convergência condicional).

Passo 4

Agora analisamos sum an^2. Temos
an^2 = 1n,
o que faz
sumn=1^infty an^2 = sumn=1^infty 1n
Isso é a famosa série harmônica, que é uma p-série com p=1. Pelo teste da p-série, como p<=1, essa série diverge.

Resposta

Um exemplo é
an = (-1)^nraizn
Então sum an converge (Teste de Leibniz) e sum an^2=sum1/n diverge (p-série com p=1).

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