Dê exemplo de uma série
que seja convergente mas que
divirja.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma série
que seja convergente, mas tal que a série dos quadrados
diverja. O assunto aqui envolve séries numéricas, em especial convergência condicional e p-séries.
Uma ferramenta essencial será o Teste de Leibniz (alternating series test) para garantir convergência condicional de uma série alternante. Também vamos usar o teste da p-série, que diz que converge se, e somente se,
.
Uma ferramenta essencial será o Teste de Leibniz (alternating series test) para garantir convergência condicional de uma série alternante. Também vamos usar o teste da p-série, que diz que
Passo 2
Escolhemos a sequência
Com isso, a série que nos interessa é
Passo 3
Para mostrar que
converge, aplicamos o Teste de Leibniz. Precisamos verificar duas coisas:
-
alterna de sinal pelo fator . -
é monótona decrescente e tende a zero quando .
Como ambos os requisitos estão satisfeitos, conclui-se queconverge (convergência condicional).
Passo 4
Agora analisamos
. Temos
o que faz
Isso é a famosa série harmônica, que é uma p-série com
. Pelo teste da p-série, como
, essa série diverge.
Resposta
Um exemplo é
Então
converge (Teste de Leibniz) e
diverge (p-série com
).