EXEMPLO 6:

  • Suponha um investimento inicial de $200.000 para um projeto que irá gerar fluxos de caixa anuais de \75.000 durante 5 anos com um custo de capital (TMA) de15 %$ ao ano.
    a) Calcule o Payback simples.
    b) Calcule o Payback descontado.
    c) Porque há diferença entre os dois tipos de Payback? Qual seria o mais correto a ser utilizado na análise de viabilidade do projeto?

EXEMPLO 7:

: Uma empresa de fast-food está planejando o investimento em um novo projeto para a expansão da empresa. Foram apresentadas duas opções (Projeto A e Projeto B).
: O CEO disse que o prazo máximo de PayBack Simples que ele admite é de 6 anos.
O investimento no projeto é de \mathrm{R} \ 22.500,00 e a Taxa Mínima de Atratividade é deíé12 %$ ao ano.
As previsões de retorno anuais dos dois projetos são apresentadas a seguir:
ANO Projeto A Projeto B
\mathbf{1} R \ 10.000,00 & R$5.000,00$
\mathbf{2} R \ 2.200,00 & R$3.400,00$
\mathbf{3} R \ 3.800,00 & R$6.100,00$
\mathbf{4} R \ 4.500,00 & R$4.000,00$
\mathbf{5} R \ 2.000,00 & R$4.000,00$
\mathbf{6} R \ 4.500,00 & R$300,00$
\mathbf{7} R \ 7.000,00 & R$2.700,00$
\mathbf{8} R \ 3.500,00 & R$12.000,00$
a) Calcule o Payback simples.
b) Calcule o Payback descontado.

Passo 1

Enunciado e dados (vou listar tudo que o exercício fornece e as perguntas que pede):
  • Exemplo 6:
    • Investimento inicial: \$\,200{.}000.
    • Fluxos de caixa: \$\,75{.}000 por ano durante 5 anos (anos 1 a 5).
    • Taxa mínima (TMA): 15\% ao ano.
    • Perguntas:
      1. Calcule o Payback simples.
      2. Calcule o Payback descontado.
      3. Por que há diferença entre os dois e qual é o mais correto?
  • Exemplo 7:
    • Investimento inicial: R$ 22.500,00.
    • TMA: 12\% ao ano.
    • Os fluxos anuais estão na tabela fornecida (peguei todos os valores diretamente da tabela do enunciado):
      • Projeto A (anos 1 a 8): R$ 10.000, R$ 2.200, R$ 3.800, R$ 4.500, R$ 2.000, R$ 4.500, R$ 7.000, R$ 3.500.
      • Projeto B (anos 1 a 8): R$ 5.000, R$ 3.400, R$ 6.100, R$ 4.000, R$ 4.000, R$ 300, R$ 2.700, R$ 12.000.
    • O CEO exige Payback simples máximo de 6 anos.
    • Perguntas:
      1. Calcule o Payback simples (para cada projeto).
      2. Calcule o Payback descontado (para cada projeto).

Passo 2

Breve aula sobre o que é Payback simples e Payback descontado (fórmulas e significado):
  • Payback simples: é o tempo necessário para que a soma acumulada dos fluxos de caixa (sem descontar) iguale o investimento inicial. Se os fluxos são \{CF_1,CF_2,\dots\} e o investimento inicial é I, ache o menor inteiro n tal que
    \sum_{t=1}^{n} CF_t \ge I,
    e, se preciso, interpolar no ano n+1 por proporção do fluxo daquele ano para ter anos e fração.
  • Payback descontado: é a versão que considera o valor do dinheiro no tempo. Primeiro descontamos cada fluxo para valor presente usando a taxa i:
    PV_t=\frac{CF_t}{(1+i)^t},
    onde PV_t é o valor presente do fluxo do ano t, CF_t é o fluxo no ano t e i é a taxa (TMA). Em seguida, acumulamos os PV_t até igualar o investimento I:
    \sum_{t=1}^{n} PV_t \ge I,
    e interpolamos dentro do ano n+1 se necessário.
Explico variáveis: CF_t = fluxo no ano t; i = taxa anual (por exemplo 0{,}15 para 15\%); I = investimento inicial; PV_t = valor de CF_t trazido a valor presente.

Passo 3

Exemplo 6 — Payback simples (passo a passo):
  • Dados: I=\$\,200{.}000, fluxos anuais constantes CF_t=\$\,75{.}000 para t=1,\dots,5.
  • Soma acumulada ano a ano (sem desconto):
    • Após 1 ano: \$\,75.000.
    • Após 2 anos: \$\,75.000+\$\,75.000=\$\,150.000.
    • Após 3 anos: \$\,225.000 (já ultrapassa o investimento).
  • O payback simples cai entre o ano 2 e o ano 3. Para interpolar a fração do ano:
    • Montante já recuperado ao final do ano 2: \$\,150.000.
    • Restante a recuperar: I-150{.}000=\$\,50{.}000.
    • Fluxo do ano 3: \$\,75{.}000.
    • Fração do ano 3 necessária: \dfrac{50{.}000}{75{.}000}=\dfrac{2}{3} de ano.
  • Convertemos \dfrac{2}{3} de ano em meses: \dfrac{2}{3}\times 12=8 meses.
  • Portanto o Payback simples é 2 anos e 8 meses (ou 2{,}666\ldots anos).

Passo 4

Exemplo 6 — Payback descontado (passo a passo e contas):
  • Taxa i=15\% (em decimal i=0{,}15).
  • Calcule os valores presentes de cada fluxo PV_t=\dfrac{75{.}000}{(1{+}0{,}15)^t} para t=1,\dots,5.
    • PV_1=\dfrac{75{.}000}{1{,}15}\approx \$\,65{.}217{,}39.
    • PV_2=\dfrac{75{.}000}{1{,}15^2}\approx \$\,56{.}710{,}32.
    • PV_3=\dfrac{75{.}000}{1{,}15^3}\approx \$\,49{.}214{,}71.
    • PV_4=\dfrac{75{.}000}{1{,}15^4}\approx \$\,42{.}763{,}02.
    • PV_5=\dfrac{75{.}000}{1{,}15^5}\approx \$\,37{.}152{,}56.
      (mostrei a fórmula geral; os números acima são os resultados aproximados das divisões).
  • Soma acumulada dos PV_t:
    • Após ano 1: \approx \$\,65{.}217{,}39.
    • Após ano 2: \approx \$\,121{.}927{,}71 (soma dos dois primeiros).
    • Após ano 3: \approx \$\,171{.}142{,}42.
    • Após ano 4: \approx \$\,213{.}905{,}44 — aqui ultrapassamos o investimento de \$\,200{.}000.
  • O payback descontado fica entre o ano 3 e o ano 4. Para interpolar:
    • Restante após o ano 3: 200{.}000-171{.}142{,}42\approx \$\,28{.}857{,}58.
    • Valor presente do fluxo do ano 4: PV_4\approx \$\,42{.}763{,}02.
    • Fração do ano 4 necessária: \dfrac{28{.}857{,}58}{42{.}763{,}02}\approx 0{,}675 de ano.
    • Em meses: 0{,}675\times 12\approx 8{,}1 meses (aprox 8 meses).
  • Portanto o Payback descontado é aproximadamente 3 anos e 8 meses (ou cerca de 3{,}67 anos).

Passo 5

Exemplo 6 — Interpretação (por que existe diferença e qual usar):
  • Por que há diferença?
    • Payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo: trata R$1 recebido hoje igual a R$1 recebido daqui a 3 anos.
    • Payback descontado traz cada fluxo ao valor presente usando a taxa i, portanto reduz valores futuros e mostra que recuperar I em termos de poder de compra/valor presente pode levar mais tempo.
  • Qual é o mais correto para análise de viabilidade?
    • O Payback descontado é mais correto do ponto de vista financeiro porque considera a taxa mínima de atratividade (o custo de oportunidade) e o valor do dinheiro no tempo.
    • Observação prática: o Payback (simples ou descontado) é uma medida de liquidez/recuperação, não de criação de valor. A medida mais completa para decidir viabilidade é o Valor Presente Líquido ( VPL ou NPV) ou a Taxa Interna de Retorno ( TIR). Ainda assim, se for obrigatório usar Payback para medir rapidez de retorno, prefira o Payback descontado.

Passo 6

Exemplo 7 — Payback simples (Projeto A) com contas passo a passo:
  • Investimento: I=\text{R\$}\,22{.}500.
  • Fluxos Projeto A ano a ano (peguei da tabela): R$ 10{.}000, 2{.}200, 3{.}800, 4{.}500, 2{.}000, 4{.}500, 7{.}000, 3{.}500.
  • Soma acumulada:
    • Ano 1: 10{.}000.
    • Ano 2: 10{.}000+2{.}200=12{.}200.
    • Ano 3: 12{.}200+3{.}800=16{.}000.
    • Ano 4: 16{.}000+4{.}500=20{.}500.
    • Ano 5: 20{.}500+2{.}000=22{.}500 — exatamente igual ao investimento.
  • Portanto o Payback simples do Projeto A é exatamente 5 anos.

Passo 7

Exemplo 7 — Payback simples (Projeto B) com contas passo a passo:
  • Fluxos Projeto B (da tabela): R$ 5{.}000, 3{.}400, 6{.}100, 4{.}000, 4{.}000, 300, 2{.}700, 12{.}000.
  • Soma acumulada:
    • Ano 1: 5{.}000.
    • Ano 2: 5{.}000+3{.}400=8{.}400.
    • Ano 3: 8{.}400+6{.}100=14{.}500.
    • Ano 4: 14{.}500+4{.}000=18{.}500.
    • Ano 5: 18{.}500+4{.}000=22{.}500 — exatamente igual ao investimento.
  • Portanto o Payback simples do Projeto B é também 5 anos.
  • Comentário prático: ambos os projetos atendem ao limite do CEO de Payback simples máximo de 6 anos.

Passo 8

Exemplo 7 — Payback descontado (passo a passo: método e fator de desconto):
  • TMA i=12\% (decimal 0{,}12). Usamos PV_t=\dfrac{CF_t}{(1{+}0{,}12)^t}.
  • Para facilitar, calculei os fatores de desconto:
    • \dfrac{1}{1{,}12}\approx 0{,}892857.
    • \dfrac{1}{1{,}12^2}\approx 0{,}797194.
    • \dfrac{1}{1{,}12^3}\approx 0{,}711780.
    • \dfrac{1}{1{,}12^4}\approx 0{,}635519.
    • \dfrac{1}{1{,}12^5}\approx 0{,}567427.
    • \dfrac{1}{1{,}12^6}\approx 0{,}506858.
    • \dfrac{1}{1{,}12^7}\approx 0{,}452389.
    • \dfrac{1}{1{,}12^8}\approx 0{,}403197.
  • Vou aplicar esses fatores aos CF_t de cada projeto, somar acumulado e interpolar no ano em que a soma ultrapassar R$ 22{.}500.

Passo 9

Exemplo 7 — Payback descontado (Projeto A: cálculo dos PV_t e acumulação):
  • Fluxos A: 10{.}000,\;2{.}200,\;3{.}800,\;4{.}500,\;2{.}000,\;4{.}500,\;7{.}000,\;3{.}500.
  • Valores presentes aproximados:
    • PV_1=10{.}000\times 0{,}892857\approx\text{R\$ }8{.}928{,}57.
    • PV_2=2{.}200\times 0{,}797194\approx\text{R\$ }1{.}753{,}83.
    • PV_3=3{.}800\times 0{,}711780\approx\text{R\$ }2{.}704{,}76.
    • PV_4=4{.}500\times 0{,}635519\approx\text{R\$ }2{.}859{,}84.
    • PV_5=2{.}000\times 0{,}567427\approx\text{R\$ }1{.}134{,}85.
    • PV_6=4{.}500\times 0{,}506858\approx\text{R\$ }2{.}280{,}86.
    • PV_7=7{.}000\times 0{,}452389\approx\text{R\$ }3{.}166{,}72.
    • PV_8=3{.}500\times 0{,}403197\approx\text{R\$ }1{.}411{,}19.
  • Soma acumulada dos PV_t:
    • Após ano 1: \approx 8{.}928{,}57.
    • Após ano 2: \approx 10{.}682{,}40.
    • Após ano 3: \approx 13{.}387{,}16.
    • Após ano 4: \approx 16{.}247{,}00.
    • Após ano 5: \approx 17{.}381{,}85.
    • Após ano 6: \approx 19{.}662{,}71.
    • Após ano 7: \approx 22{.}829{,}43 — ultrapassa R$ 22{.}500.
  • Interpolação entre ano 6 e 7:
    • Restante após ano 6: 22{.}500-19{.}662{,}71\approx\text{R\$ }2{.}837{,}29.
    • PV_7\approx\text{R\$ }3{.}166{,}72.
    • Fração do ano 7: \dfrac{2{.}837{,}29}{3{.}166{,}72}\approx 0{,}896 de ano \approx 10{,}75 meses.
  • Payback descontado do Projeto A: aproximadamente 6{,}90 anos, isto é, 6 anos e 11 meses (arredondando meses).

Passo 10

Exemplo 7 — Payback descontado (Projeto B: cálculo dos PV_t e acumulação):
  • Fluxos B: 5{.}000,\;3{.}400,\;6{.}100,\;4{.}000,\;4{.}000,\;300,\;2{.}700,\;12{.}000.
  • Valores presentes aproximados:
    • PV_1=5{.}000\times 0{,}892857\approx\text{R\$ }4{.}464{,}29.
    • PV_2=3{.}400\times 0{,}797194\approx\text{R\$ }2{.}710{,}46.
    • PV_3=6{.}100\times 0{,}711780\approx\text{R\$ }4{.}342{,}96.
    • PV_4=4{.}000\times 0{,}635519\approx\text{R\$ }2{.}542{,}08.
    • PV_5=4{.}000\times 0{,}567427\approx\text{R\$ }2{.}269{,}71.
    • PV_6=300\times 0{,}506858\approx\text{R\$ }152{,}06.
    • PV_7=2{.}700\times 0{,}452389\approx\text{R\$ }1{.}221{,}45.
    • PV_8=12{.}000\times 0{,}403197\approx\text{R\$ }4{.}838{,}36.
  • Soma acumulada:
    • Após ano 1: \approx 4{.}464{,}29.
    • Após ano 2: \approx 7{.}174{,}75.
    • Após ano 3: \approx 11{.}517{,}71.
    • Após ano 4: \approx 14{.}059{,}79.
    • Após ano 5: \approx 16{.}329{,}50.
    • Após ano 6: \approx 16{.}481{,}56.
    • Após ano 7: \approx 17{.}703{,}01.
    • Após ano 8: \approx 22{.}541{,}37 — ultrapassa R$ 22{.}500.
  • Interpolação entre ano 7 e 8:
    • Restante após ano 7: 22{.}500-17{.}703{,}01\approx\text{R\$ }4{.}796{,}99.
    • PV_8\approx\text{R\$ }4{.}838{,}36.
    • Fração do ano 8: \dfrac{4{.}796{,}99}{4{.}838{,}36}\approx 0{,}992 de ano \approx 11{,}9 meses.
  • Payback descontado do Projeto B: aproximadamente 7{,}99 anos, isto é, praticamente 8 anos.

Resposta

Exemplo 6 (a) Payback simples: 2 anos e 8 meses ( \approx 2{,}67 anos).
Exemplo 6 (b) Payback descontado: 3 anos e 8 meses ( \approx 3{,}67 anos).
Exemplo 6 (c) Diferença e recomendação: há diferença porque o Payback simples não considera o valor do dinheiro no tempo enquanto o descontado usa PV_t=\dfrac{CF_t}{(1+i)^t}; o mais correto para análise financeira é o Payback descontado (além disso, o ideal é usar VPL/NPV ou TIR para decidir viabilidade).
Exemplo 7 (a) Payback simples Projeto A: 5 anos.
Exemplo 7 (a) Payback simples Projeto B: 5 anos.
Exemplo 7 (b) Payback descontado Projeto A: aproximadamente 6{,}90 anos ( \approx 6 anos e 11 meses).
Exemplo 7 (b) Payback descontado Projeto B: aproximadamente 7{,}99 anos ( \approx 8 anos).

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