Considere que no exercício anterior as duas fontes sejam dois altofalantes emitindo um sinal de 500 Hz e que no ponto considerado esteja um observador. Considere, também, que a distância
seja suficientemente grande perante
a fim de que as amplitudes das ondas sonoras (
), geradas pelos alto-falantes, sejam iguais na posição em que está o observador. Qual a menor distância
para que o observador não perceba som algum?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
- Duas fontes sonoras (dois alto‑falantes) emitem o mesmo sinal com frequência
. - Velocidade do som:
. - Existe um observador em um ponto para o qual a distância
(do observador às fontes) é muito maior que a separação entre as fontes (ou seja, ).
Isso garante que as amplitudes das ondas vindas de cada alto‑falante sejam (praticamente) iguais no ponto do observador. - Pressupõe‑se que as duas fontes são coerentes (mesma frequência e fase de emissão), a menos que o enunciado anterior dissesse o contrário.
O que é pedido:
- Determinar a menor distância
entre os alto‑falantes para que o observador não perceba som algum (ou seja, para que ocorra interferência destrutiva total no ponto do observador).
Passo 2
Entender o que faz o som “sumir” por interferência: quando duas ondas de mesma frequência e amplitudes iguais chegam ao observador com diferença de caminho não nula, há uma diferença de fase entre elas. A soma das duas ondas resulta em amplitude máxima (construtiva) ou mínima (destrutiva) dependendo dessa diferença de fase.
Definições e fórmulas importantes:
- Comprimento de onda
relacionado a e pela fórmula
Aqui
é a velocidade do som (em m/s),
é a frequência (em Hz) e
fica em metros.
- Diferença de caminho (ou diferença de percurso) entre as duas trajetórias até o observador: denotaremos por
. - Diferença de fase
relacionada a por
- Condição para interferência destrutiva total (quando as amplitudes são iguais): a diferença de fase deve ser um múltiplo ímpar de
, ou seja
Substituindo a expressão da
em termos de
obtemos a condição de diferença de caminho
Explicação breve: quando
(caso mais simples,
) uma onda chega defasada de
radianos em relação à outra — elas se anulam.
Passo 3
Relacionar
com a separação
do problema, usando a hipótese geométrica mais simples compatível com a frase “a distância
seja suficientemente grande perante
”:
Situação geométrica adotada (padrão, compatível com
):
- Os dois alto‑falantes estão separados por
ao longo de uma linha. O observador está aproximadamente na direção desta linha, a uma distância grande dos alto‑falantes. Nesse caso as distâncias do observador a cada fonte diferem aproximadamente por (uma fonte fica vagamente a , a outra a ). - Como
, as amplitudes chegam aproximadamente iguais (boa aproximação indicada pelo enunciado) e a diferença geométrica de caminho entre as ondas é, na primeira aproximação, .
Observação: em geometria de “campo distante” para um observador próximo ao eixo da linha que une as fontes, a diferença de percurso tende a ser aproximadamente igual à projeção da separação na direção do observador. Para o caso simples em que o observador está alinhado com as fontes e uma delas está mais distante em
, temos
. Esta é a aproximação natural dado que o enunciado não traz figura diferente.
Passo 4
Aplicar a condição de interferência destrutiva mínima (
) usando
. Para o menor
que causa anulação total, tomamos
Agora calculamos
usando
e
.
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
:
Passo 6
Calcular a menor distância
que anula o som (tomando
):
Passo 7
Interpretação e observações finais (didático e prático):
- Conclusão física: se os alto‑falantes estiverem emitindo em fase e o observador receber as duas ondas com amplitudes iguais, uma diferença de caminho de
faz com que as ondas cheguem com diferença de fase e se cancelem exatamente. - Caso as fontes fossem emitindo com diferença de fase inicial (por exemplo já emitindo em oposição de fase), a condição de anulação mudaria: para fontes em oposição inicial, a condição de anulação seria
. Sempre importante checar a fase relativa das fontes. - A aproximação
foi usada com base na hipótese natural e que o observador está aproximadamente na direção da linha que une os alto‑falantes. Se o observador estivesse em outra posição angular, a diferença de caminho seria (campo distante) e a condição para o menor mudaria: .