Considere que no exercício anterior as duas fontes sejam dois altofalantes emitindo um sinal de 500 Hz e que no ponto considerado esteja um observador. Considere, também, que a distância x seja suficientemente grande perante d a fim de que as amplitudes das ondas sonoras ( v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ), geradas pelos alto-falantes, sejam iguais na posição em que está o observador. Qual a menor distância d para que o observador não perceba som algum?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • Duas fontes sonoras (dois alto‑falantes) emitem o mesmo sinal com frequência \,f=500\\ \mathrm{Hz}\,.
  • Velocidade do som: \,v=340\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Existe um observador em um ponto para o qual a distância \,x\, (do observador às fontes) é muito maior que a separação entre as fontes \,d (ou seja, \,x\gg d\,).
    Isso garante que as amplitudes das ondas vindas de cada alto‑falante sejam (praticamente) iguais no ponto do observador.
  • Pressupõe‑se que as duas fontes são coerentes (mesma frequência e fase de emissão), a menos que o enunciado anterior dissesse o contrário.
O que é pedido:
  • Determinar a menor distância \,d\, entre os alto‑falantes para que o observador não perceba som algum (ou seja, para que ocorra interferência destrutiva total no ponto do observador).

Passo 2

Entender o que faz o som “sumir” por interferência: quando duas ondas de mesma frequência e amplitudes iguais chegam ao observador com diferença de caminho não nula, há uma diferença de fase entre elas. A soma das duas ondas resulta em amplitude máxima (construtiva) ou mínima (destrutiva) dependendo dessa diferença de fase.
Definições e fórmulas importantes:
  • Comprimento de onda \,\lambda\, relacionado a v e f pela fórmula
\lambda=\frac{v}{f}.
Aqui \,v\, é a velocidade do som (em m/s), \,f\, é a frequência (em Hz) e \,\lambda\, fica em metros.
  • Diferença de caminho (ou diferença de percurso) entre as duas trajetórias até o observador: denotaremos por \,\Delta L\,.
  • Diferença de fase \,\Delta\varphi\, relacionada a \,\Delta L\, por
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta L.
  • Condição para interferência destrutiva total (quando as amplitudes são iguais): a diferença de fase deve ser um múltiplo ímpar de \pi, ou seja
\Delta\varphi=(2n+1)\pi,\qquad n=0,1,2,\dots
Substituindo a expressão da \Delta\varphi em termos de \Delta L obtemos a condição de diferença de caminho
\Delta L=(2n+1)\,\frac{\lambda}{2}.
Explicação breve: quando \Delta L=\frac{\lambda}{2} (caso mais simples, n=0) uma onda chega defasada de \pi radianos em relação à outra — elas se anulam.

Passo 3

Relacionar \Delta L com a separação d do problema, usando a hipótese geométrica mais simples compatível com a frase “a distância x seja suficientemente grande perante d”:
Situação geométrica adotada (padrão, compatível com x\gg d):
  • Os dois alto‑falantes estão separados por d ao longo de uma linha. O observador está aproximadamente na direção desta linha, a uma distância grande x dos alto‑falantes. Nesse caso as distâncias do observador a cada fonte diferem aproximadamente por d (uma fonte fica vagamente a x, a outra a x+d).
  • Como x\gg d, as amplitudes chegam aproximadamente iguais (boa aproximação indicada pelo enunciado) e a diferença geométrica de caminho entre as ondas é, na primeira aproximação, \Delta L\approx d.
Observação: em geometria de “campo distante” para um observador próximo ao eixo da linha que une as fontes, a diferença de percurso tende a ser aproximadamente igual à projeção da separação na direção do observador. Para o caso simples em que o observador está alinhado com as fontes e uma delas está mais distante em d, temos \Delta L=d. Esta é a aproximação natural dado que o enunciado não traz figura diferente.

Passo 4

Aplicar a condição de interferência destrutiva mínima ( n=0) usando \Delta L\approx d. Para o menor d>0 que causa anulação total, tomamos
d=\frac{\lambda}{2}.
Agora calculamos \lambda usando \,v=340\\ \mathrm{m/s} e \,f=500\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{340}{500}=\;0,68\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a menor distância d que anula o som (tomando d=\lambda/2):
d=\frac{\lambda}{2}=\frac{0,68}{2}=0,34\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e observações finais (didático e prático):
  • Conclusão física: se os alto‑falantes estiverem emitindo em fase e o observador receber as duas ondas com amplitudes iguais, uma diferença de caminho de \lambda/2 faz com que as ondas cheguem com diferença de fase \pi e se cancelem exatamente.
  • Caso as fontes fossem emitindo com diferença de fase inicial (por exemplo já emitindo em oposição de fase), a condição de anulação mudaria: para fontes em oposição inicial, a condição de anulação seria \Delta L=n\lambda. Sempre importante checar a fase relativa das fontes.
  • A aproximação \Delta L\approx d foi usada com base na hipótese natural x\gg d e que o observador está aproximadamente na direção da linha que une os alto‑falantes. Se o observador estivesse em outra posição angular, a diferença de caminho seria \Delta L\approx d\sin\theta (campo distante) e a condição para o menor d mudaria: d=\lambda/(2\sin\theta).

Resposta

d=0,34\\ \mathrm{m}

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