Exemplo 4: Suponhamos que a variável aleatória X seja contínua. Seja a função f_{X}(x) definida por:
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{rr} 2 x, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário } . \end{array}\right.á
Verifique se f_{X}(x) é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá a função f_{X}(x) definida por
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{rr} 2x, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
A tarefa é: verificar se f_{X}(x) é uma função densidade de probabilidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é dada de forma peça a peça: vale 2x no intervalo aberto (0,1) e 0 fora desse intervalo.
  • A variável aleatória X é contínua (isso indica que, se for densidade, ela deve satisfazer as propriedades de uma densidade contínua).]

Passo 2

O que significa ser uma função densidade de probabilidade (pdf) para uma variável contínua?
Dizemos que uma função f_X(x) é pdf se satisfaz duas condições fundamentais:
  1. Não-negatividade: \;f_X(x)\ge 0\; para todo x\in\mathbb{R}.
    Explicação rápida: uma densidade representa “densidade de probabilidade” em cada ponto; não faz sentido ter densidade negativa.
  2. Normalização: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
    Explicação rápida: a probabilidade total de todo o espaço amostral deve ser 1. Para variáveis contínuas, soma de probabilidades vira integral da densidade ao longo de todo \mathbb{R}.
Vamos checar essas duas condições para a função dada.

Passo 3

Verificando a não-negatividade.
Para x\le 0 e para x\ge 1, por definição f_X(x)=0, então é não-negativa nessas regiões. Para 0<x<1 temos f_X(x)=2x. Como x>0 nesse intervalo, 2x>0. Logo
f_X(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Concluímos que a primeira condição (não-negatividade) está satisfeita.

Passo 4

Agora vamos checar a normalização, ou seja, calcular a integral de f_X em toda a reta. Observação: como f_X(x)=0 fora de (0,1), a integral em (-\infty,\infty) reduz-se à integral em (0,1):
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{0}^{1} 2x\,dx.
Explicando a técnica: para calcular uma integral indefinida de uma potência, usamos a regra \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Aqui 2x é múltiplo de x, então podemos integrar diretamente.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Primeiro fatoramos o 2 (constante):
\int_{0}^{1} 2x\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx.
Aplicando a fórmula com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Portanto a primitiva de 2x é
2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
\int_{0}^{1} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{1} = 1^{2} - 0^{2} = 1.

Passo 6

Interpretando o resultado: a integral total de f_X sobre \mathbb{R} é 1, e já verificamos que f_X(x)\ge 0 em toda a reta. Portanto ambas as condições para ser uma pdf estão satisfeitas.

Passo 7

Conclusão final e dica prática para a prova: sempre que você receber uma função peça a peça para verificar se é densidade, faça exatamente estes dois passos — verificar não-negatividade ponto a ponto e calcular a integral total (reduzida aos intervalos onde a função é não nula). Se a integral der 1 e a função for não-negativa, pode escrever com segurança que é pdf.

Resposta

Sim. f_{X}(x) é uma função densidade de probabilidade.

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