A tarefa é: verificar se f_{X}(x) é uma função densidade de probabilidade.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A função é dada de forma peça a peça: vale 2x no intervalo aberto (0,1) e 0 fora desse intervalo.
A variável aleatória X é contínua (isso indica que, se for densidade, ela deve satisfazer as propriedades de uma densidade contínua).]
Passo 2
O que significa ser uma função densidade de probabilidade (pdf) para uma variável contínua?
Dizemos que uma função f_X(x) é pdf se satisfaz duas condições fundamentais:
Não-negatividade: \;f_X(x)\ge 0\; para todo x\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: uma densidade representa “densidade de probabilidade” em cada ponto; não faz sentido ter densidade negativa.
Normalização: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Explicação rápida: a probabilidade total de todo o espaço amostral deve ser 1. Para variáveis contínuas, soma de probabilidades vira integral da densidade ao longo de todo \mathbb{R}.
Vamos checar essas duas condições para a função dada.
Passo 3
Verificando a não-negatividade.
Para x\le 0 e para x\ge 1, por definição f_X(x)=0, então é não-negativa nessas regiões. Para 0<x<1 temos f_X(x)=2x. Como x>0 nesse intervalo, 2x>0. Logo
f_X(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Concluímos que a primeira condição (não-negatividade) está satisfeita.
Passo 4
Agora vamos checar a normalização, ou seja, calcular a integral de f_X em toda a reta. Observação: como f_X(x)=0 fora de (0,1), a integral em (-\infty,\infty) reduz-se à integral em (0,1):
Explicando a técnica: para calcular uma integral indefinida de uma potência, usamos a regra \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1. Aqui 2x é múltiplo de x, então podemos integrar diretamente.
Passo 5
Calcule a integral passo a passo. Primeiro fatoramos o 2 (constante):
\int_{0}^{1} 2x\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx.
Aplicando a fórmula com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
Portanto a primitiva de 2x é
2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida:
Interpretando o resultado: a integral total de f_X sobre \mathbb{R} é 1, e já verificamos que f_X(x)\ge 0 em toda a reta. Portanto ambas as condições para ser uma pdf estão satisfeitas.
Passo 7
Conclusão final e dica prática para a prova: sempre que você receber uma função peça a peça para verificar se é densidade, faça exatamente estes dois passos — verificar não-negatividade ponto a ponto e calcular a integral total (reduzida aos intervalos onde a função é não nula). Se a integral der 1 e a função for não-negativa, pode escrever com segurança que é pdf.
Resposta
Sim. f_{X}(x) é uma função densidade de probabilidade.