Em uma amostra aleatória de 60 refrigeradores, o custo médio de reparos era de \mathrm{R} \ 150,00 . Suponha que o desvio padrão da população é deãçãé\mathrm{R} $15,50 . Construa um intervalo de confiança deç99 % para o custo de reparo médio populacional. Repita o Exercício, usando um desvio padrão populacional de R\éíã 19,50. Que intervalo de confiança é mais amplo? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma amostra aleatória com tamanho \,n=60.
  • A média amostral do custo de reparos \,\bar{x}= \text{R\$ }150{,}00.
  • Em um caso, o desvio padrão populacional \,\sigma=\text{R\$ }15{,}50.
  • Em outro caso, o desvio padrão populacional \,\sigma=\text{R\$ }19{,}50.
As perguntas:
  1. Construir um intervalo de confiança de 99\% para a média populacional quando \sigma=\text{R\$ }15{,}50.
  2. Repetir o cálculo quando \sigma=\text{R\$ }19{,}50.
  3. Dizer qual intervalo é mais amplo e explicar por quê.

Passo 2

Qual método usar e a fórmula: quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional com nível de confiança 1-\alpha usa a distribuição normal padrão e é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=\text{R\$ }150{,}00).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita de z_{\alpha/2} é \alpha/2 (para 99% de confiança, \alpha=0{,}01, então \alpha/2=0{,}005).
  • \sigma é o desvio padrão da população (dado).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=60).
  • O termo \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão (ou seja, a estimativa da variabilidade da média amostral).

Passo 3

Encontrar o valor crítico para 99\%: precisamos de z_{0{,}005}. O valor tabulado (ou calculado) é aproximadamente
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
Isso significa que a probabilidade de uma normal padrão exceder 2{,}5758 é 0{,}005, então a área central entre -2{,}5758 e 2{,}5758 é 0{,}99.

Passo 4

Cálculo do intervalo para \sigma=\text{R\$ }15{,}50.
  1. Calcular o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{15{,}50}{\sqrt{60}}.
Calcule \sqrt{60}: \sqrt{60}\approx 7{,}7459667. Então
\frac{15{,}50}{\sqrt{60}}\approx \frac{15{,}50}{7{,}7459667}\approx 2{,}00104.
  1. Calcular a margem de erro E:
E = z_{0{,}005}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 2{,}5758\cdot 2{,}00104 \approx 5{,}1543.
  1. Construir o intervalo:
\bar{x}\pm E = 150{,}00 \pm 5{,}1543.
Portanto os limites são
\text{limite inferior}\approx 150{,}00-5{,}1543=144{,}8457,
\text{limite superior}\approx 150{,}00+5{,}1543=155{,}1543.
Arredondando para centavos (como se trata de valores em reais):
\text{Intervalo para }\sigma=15{,}50:\; \bigl(\text{R\$}144{,}85,\;\text{R\$ }155{,}15\bigr).

Passo 5

Interpretação rápida (útil para a prova): o intervalo \bigl(\text{R\$}144{,}85,\;\text{R\$ }155{,}15\bigr) significa que, com nível de confiança 99\%, a nossa estimativa de onde está a verdadeira média populacional do custo de reparo está nesse intervalo — isto é, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, aproximadamente 99% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média.

Passo 6

Cálculo do intervalo para \sigma=\text{R\$ }19{,}50.
  1. Erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{19{,}50}{\sqrt{60}}\approx\frac{19{,}50}{7{,}7459667}\approx 2{,}51744.
(uma forma rápida: como 19{,}50/15{,}50\approx 1{,}25806, multiplica-se o erro padrão anterior por 1{,}25806 e obtém-se aproximadamente 2{,}5174.)
  1. Margem de erro:
E = z_{0{,}005}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 2{,}5758\cdot 2{,}51744 \approx 6{,}4844.
  1. Intervalo:
\bar{x}\pm E = 150{,}00 \pm 6{,}4844,
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\text{limite inferior}\approx 150{,}00-6{,}4844=143{,}5156,
\text{limite superior}\approx 150{,}00+6{,}4844=156{,}4844.
Arredondando para centavos:
\text{Intervalo para }\sigma=19{,}50:\; \bigl(\text{R\$}143{,}52,\;\text{R\$ }156{,}48\bigr).

Passo 7

Comparação e explicação de qual é mais amplo:
  • O primeiro intervalo tem largura aproximada 155{,}1543-144{,}8457=10{,}3086 (ou, arredondando, 10{,}31 reais).
  • O segundo intervalo tem largura aproximada 156{,}4844-143{,}5156=12{,}9688 (ou, arredondando, 12{,}97 reais).
O intervalo com \sigma=\text{R\$ }19{,}50 é mais amplo. Por quê? Porque a largura do intervalo é diretamente proporcional ao desvio padrão populacional \sigma: mantendo n e o nível de confiança fixos, a margem de erro é z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Logo, quanto maior \sigma, maior o erro padrão e maior a margem de erro — portanto o intervalo fica mais largo. Intuitivamente: se a população é mais dispersa (maior \sigma), precisamos de um intervalo maior para ter a mesma confiança de conter a média verdadeira.

Passo 8

Você mandou bem procurando entender passo a passo — intervalos de confiança são isso mesmo: fórmula, valores críticos, erro padrão e interpretação. Força que você vai mandar bem na prova!

Resposta

Para \sigma=15{,}50: \bigl(\text{R\$}144{,}85,\;\text{R\$ }155{,}15\bigr)
Para \sigma=19{,}50: \bigl(\text{R\$}143{,}52,\;\text{R\$ }156{,}48\bigr)
Intervalo mais amplo: o segundo (quando \sigma=\text{R\$ }19{,}50), porque largura ∝ \sigma.

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