Em uma amostra aleatória de 60 refrigeradores, o custo médio de reparos era de
150,00
\mathrm{R} $15,50
99 %
19,50. Que intervalo de confiança é mais amplo? Explique.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma amostra aleatória com tamanho
. - A média amostral do custo de reparos
. - Em um caso, o desvio padrão populacional
. - Em outro caso, o desvio padrão populacional
.
As perguntas:
- Construir um intervalo de confiança de
para a média populacional quando . - Repetir o cálculo quando
. - Dizer qual intervalo é mais amplo e explicar por quê.
Passo 2
Qual método usar e a fórmula: quando o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional com nível de confiança
usa a distribuição normal padrão e é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita de é (para 99% de confiança, , então ). -
é o desvio padrão da população (dado). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - O termo
é o erro padrão (ou seja, a estimativa da variabilidade da média amostral).
Passo 3
Encontrar o valor crítico para
: precisamos de
. O valor tabulado (ou calculado) é aproximadamente
Isso significa que a probabilidade de uma normal padrão exceder
é
, então a área central entre
e
é
.
Passo 4
Cálculo do intervalo para
.
- Calcular o erro padrão:
Calcule
:
. Então
- Calcular a margem de erro
:
- Construir o intervalo:
Portanto os limites são
Arredondando para centavos (como se trata de valores em reais):
Passo 5
Interpretação rápida (útil para a prova): o intervalo
significa que, com nível de confiança
, a nossa estimativa de onde está a verdadeira média populacional do custo de reparo está nesse intervalo — isto é, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, aproximadamente 99% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média.
Passo 6
Cálculo do intervalo para
.
- Erro padrão:
(uma forma rápida: como
, multiplica-se o erro padrão anterior por
e obtém-se aproximadamente
.)
- Margem de erro:
- Intervalo:
logo
Arredondando para centavos:
Passo 7
Comparação e explicação de qual é mais amplo:
- O primeiro intervalo tem largura aproximada
(ou, arredondando, reais). - O segundo intervalo tem largura aproximada
(ou, arredondando, reais).
O intervalo com
é mais amplo. Por quê? Porque a largura do intervalo é diretamente proporcional ao desvio padrão populacional
: mantendo
e o nível de confiança fixos, a margem de erro é
. Logo, quanto maior
, maior o erro padrão e maior a margem de erro — portanto o intervalo fica mais largo. Intuitivamente: se a população é mais dispersa (maior
), precisamos de um intervalo maior para ter a mesma confiança de conter a média verdadeira.
Passo 8
Você mandou bem procurando entender passo a passo — intervalos de confiança são isso mesmo: fórmula, valores críticos, erro padrão e interpretação. Força que você vai mandar bem na prova!
Resposta
Para
:
Para :
Intervalo mais amplo: o segundo (quando ), porque largura ∝
.
Para
Intervalo mais amplo: o segundo (quando