Considere o teste CVN, descrito no Exercício 8, e suponha que quiséssemos determinar quantos corpos de prova teríamos de testar para assegurar que o IC de
para
para o aço A238, cortado a
, tivesse um comprimento de no máximo
. Determinar o tamanho da amostra para que o erro de estimação,
, seja metade do comprimento do IC.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se determinar o tamanho da amostra
necessário para que o intervalo de confiança de para a média do aço A238 (teste CVN a ) tenha comprimento máximo igual a . - O enunciado diz que o erro de estimação
é metade do comprimento do IC. Logo o comprimento total do IC desejado é e - Informação faltante e fundamental: o valor do desvio-padrão populacional
(ou um desvio-padrão amostral piloto ) para as medidas do teste CVN. O enunciado refere-se ao Exercício 8, que provavelmente contém essa estimativa; como essa informação não foi enviada aqui, não temos número para ou . - Conclusão imediata: sem
(ou do Exercício 8) não é possível calcular um valor numérico final para . A seguir eu explico passo a passo como obter quando você tiver ou , e como proceder se for desconhecido.
Passo 2
Fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional
é conhecido:
- Para uma amostra aleatória simples com média amostral
e desvio-padrão populacional conhecido , o IC de nível para é Aqui: -
é a média amostral; -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; -
é o desvio-padrão populacional; -
é o tamanho da amostra.
-
- O “meio-comprimento” (erro de estimação) do IC é
Isto vem diretamente da forma do IC: o termo à direita do é o semicomprimento.
Passo 3
Obter a fórmula para
quando
é conhecido:
- Isolando
na equação temos - Para nível de confiança
temos e . - Substituindo
obtemos a fórmula prática que você vai usar: - Observação prática: essa fórmula dá um
real; na prática tomamos o próximo inteiro maior (arredondar para cima) porque deve ser inteiro.
Passo 4
E se o desvio-padrão populacional
for desconhecido (caso mais comum)?
- Normalmente usamos uma estimativa piloto
(desvio-padrão amostral obtido em um estudo anterior, por exemplo o Exercício 8). Duas abordagens: - Aproximação normal (quando
esperado é razoavelmente grande): substituir por na fórmula do Passo 3 e usar : Essa é simples e costuma ser adequada se vem de estudo com tamanho moderado. - Método exato com distribuição
: o IC exato com desconhecida usa em vez de : Aqui depende de , então a equação é implícita em e resolvemos por iteração: - Passo iterativo sugerido:
- Fazer uma primeira aproximação tomando
e calcular . - Calcular
(tabela ou função estatística) e calcular . - Repetir até que
converge (diferença pequena) e então arredondar para cima.
- Fazer uma primeira aproximação tomando
- Passo iterativo sugerido:
- Aproximação normal (quando
- Eu recomendo a abordagem com
e o método iterativo se você deseja rigor; se quiser uma solução rápida use a aproximação com .
Passo 5
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar como aplicar) — atenção: este número é só exemplo; substitua
pelo valor do Exercício 8:
- Suponha que o desvio-padrão amostral piloto seja
(apenas ilustrativo). - Usando aproximação normal:
Arredondando para cima obtemos . - Usando o método
iterativo: começar com , obter (por ex. aproximadamente — valor ilustrativo), recalcular com e iterar; normalmente o final fica muito próximo do valor obtido pela aproximação com quando é moderado/grande.
Passo 6
Resumo prático do que você precisa fazer agora (passos que você pode executar rápido):
- Pegue o desvio-padrão presente no Exercício 8: ou
(se o enunciado do Ex. 8 deu ) ou a estimativa amostral . - Use a fórmula
se for usar aproximação com . - Se quiser rigor com
desconhecida, faça a iteração com descrita no Passo 4. - Sempre arredonde o
final para cima para garantir o erro máximo desejado.
Resposta
(Não é possível fornecer um valor numérico final sem o valor de
ou da estimativa amostral
presente no Exercício 8; se usar
substitua
por
e, para maior precisão, faça a iteração com
.)