Considere o teste CVN, descrito no Exercício 8, e suponha que quiséssemos determinar quantos corpos de prova teríamos de testar para assegurar que o IC de 95 \% para \mu para o aço A238, cortado a 60{ }^{\circ} \mathrm{C}, tivesse um comprimento de no máximo 1,0 J. Determinar o tamanho da amostra para que o erro de estimação, \varepsilon, seja metade do comprimento do IC.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se determinar o tamanho da amostra n necessário para que o intervalo de confiança de 95\% para a média \mu do aço A238 (teste CVN a 60^\circ\mathrm{C}) tenha comprimento máximo igual a 1{,}0\\ \mathrm{J}.
  • O enunciado diz que o erro de estimação \varepsilon é metade do comprimento do IC. Logo o comprimento total do IC desejado é 1{,}0\\ \mathrm{J} e \varepsilon = \frac{1{,}0}{2} = 0{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Informação faltante e fundamental: o valor do desvio-padrão populacional \sigma (ou um desvio-padrão amostral piloto s) para as medidas do teste CVN. O enunciado refere-se ao Exercício 8, que provavelmente contém essa estimativa; como essa informação não foi enviada aqui, não temos número para \sigma ou s.
  • Conclusão imediata: sem \sigma (ou s do Exercício 8) não é possível calcular um valor numérico final para n. A seguir eu explico passo a passo como obter n quando você tiver \sigma ou s, e como proceder se \sigma for desconhecido.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido:
  • Para uma amostra aleatória simples com média amostral \bar{X} e desvio-padrão populacional conhecido \sigma, o IC de nível 1-\alpha para \mu é \bar{X} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.Aqui:
    • \bar{X} é a média amostral;
    • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2;
    • \sigma é o desvio-padrão populacional;
    • n é o tamanho da amostra.
  • O “meio-comprimento” (erro de estimação) do IC é \varepsilon = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.Isto vem diretamente da forma do IC: o termo à direita do \pm é o semicomprimento.

Passo 3

Obter a fórmula para n quando \sigma é conhecido:
  • Isolando n na equação \varepsilon = z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} temos \sqrt{n} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{\varepsilon}\right)^{2}.
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e z_{\alpha/2}=z_{0{,}025}=1{,}96.
  • Substituindo \varepsilon=0{,}5 obtemos a fórmula prática que você vai usar: n = \left(\frac{1{,}96\;\sigma}{0{,}5}\right)^{2}.
  • Observação prática: essa fórmula dá um n real; na prática tomamos o próximo inteiro maior (arredondar para cima) porque n deve ser inteiro.

Passo 4

E se o desvio-padrão populacional \sigma for desconhecido (caso mais comum)?
  • Normalmente usamos uma estimativa piloto s (desvio-padrão amostral obtido em um estudo anterior, por exemplo o Exercício 8). Duas abordagens:
    1. Aproximação normal (quando n esperado é razoavelmente grande): substituir \sigma por s na fórmula do Passo 3 e usar z_{0{,}025}=1{,}96: n \approx \left(\frac{1{,}96\;s}{0{,}5}\right)^{2}.Essa é simples e costuma ser adequada se s vem de estudo com tamanho moderado.
    2. Método exato com distribuição t: o IC exato com \sigma desconhecida usa t_{n-1,\,0{,}025} em vez de z_{0{,}025}: \varepsilon = t_{n-1,\,0{,}025}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad n = \left(\frac{t_{n-1,\,0{,}025}\;s}{\varepsilon}\right)^{2}.Aqui t_{n-1,\,0{,}025} depende de n, então a equação é implícita em n e resolvemos por iteração:
      • Passo iterativo sugerido:
        1. Fazer uma primeira aproximação tomando t\approx z=1{,}96 e calcular n_0=\left(\dfrac{1{,}96\,s}{\varepsilon}\right)^2.
        2. Calcular t_{n_0-1,\,0{,}025} (tabela t ou função estatística) e calcular n_1=\left(\dfrac{t_{n_0-1,\,0{,}025}\,s}{\varepsilon}\right)^2.
        3. Repetir até que n_{k} converge (diferença pequena) e então arredondar para cima.
  • Eu recomendo a abordagem com s e o método iterativo se você deseja rigor; se quiser uma solução rápida use a aproximação com z.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar como aplicar) — atenção: este número é só exemplo; substitua s pelo valor do Exercício 8:
  • Suponha que o desvio-padrão amostral piloto seja s=2{,}0\\ \mathrm{J} (apenas ilustrativo).
  • Usando aproximação normal: n \approx \left(\frac{1{,}96\cdot 2{,}0}{0{,}5}\right)^{2} = \left(\frac{3{,}92}{0{,}5}\right)^{2} = (7{,}84)^{2} = 61{,}4656.Arredondando para cima obtemos n=62.
  • Usando o método t iterativo: começar com n_0=62, obter t_{61,\,0{,}025} (por ex. aproximadamente 2{,}000 — valor ilustrativo), recalcular n_1 com t e iterar; normalmente o n final fica muito próximo do valor obtido pela aproximação com z quando n é moderado/grande.

Passo 6

Resumo prático do que você precisa fazer agora (passos que você pode executar rápido):
  1. Pegue o desvio-padrão presente no Exercício 8: ou \sigma (se o enunciado do Ex. 8 deu \sigma) ou a estimativa amostral s.
  2. Use a fórmula n = \left(\frac{1{,}96\;\sigma}{0{,}5}\right)^{2} \quad\text{ou}\quad n \approx \left(\frac{1{,}96\;s}{0{,}5}\right)^{2}se for usar aproximação com s.
  3. Se quiser rigor com \sigma desconhecida, faça a iteração com t_{n-1,0{,}025} descrita no Passo 4.
  4. Sempre arredonde o n final para cima para garantir o erro máximo desejado.

Resposta

n = \left(\frac{1{,}96\;\sigma}{0{,}5}\right)^{2}
(Não é possível fornecer um valor numérico final sem o valor de \sigma ou da estimativa amostral s presente no Exercício 8; se usar s substitua \sigma por s e, para maior precisão, faça a iteração com t_{n-1,0{,}025}.)

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