Exemplo 7: O tempo de vida de uma lâmpada, em horas, pode ser modelado por uma v.a. T com f.d.p f(t), dada por:
f(t)=\left\{\begin{array}{rc} \lambda e^{-\lambda t}, & \text { se } t>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Examinando-se um grande número de lâmpadas, observou-se que apenas 50 \% delas duravam mais do que 100 h . Esta observação sugere que P(T \leq 100)=0,5. Calcule:
  • a) O valor da constante \lambda
  • b) A FDP
  • c) A probabilidade da lâmpada durar mais do que 200 h , ou seja, P(T>200)

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma v.a. T\) (tempo de vida da lâmpada) como \[f(t)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t}, & \text{se } t>0,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Também informa que, ao examinar muitas lâmpadas, observou‑se que apenas 50\%\] duravam mais do que \(100 h. O enunciado interpreta isso como
P(T\leq 100)=0,5.
As perguntas são:
a) encontrar a constante \lambda;
b) escrever a f.d.p. (com o valor de \lambda encontrado);
c) calcular P(T>200).]

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar a f.d.p. f(t) com a função de distribuição acumulada (FDC) F(t)=P(T\leq t). A FDC é obtida integrando a f.d.p. desde o início do suporte até t. Como f(t)=0 para t\le 0, para t>0 temos
F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Aqui x é a variável de integração (um “tempo intermediário”) e \lambda é a constante positiva que queremos achar. Vamos calcular a integral explicitamente.

Passo 3

Calculemos a integral passo a passo:
\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Reconhecemos que a primitiva de e^{-\lambda x} é -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}. Multiplicando por \lambda (que está fora), obtemos
\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[- e^{-\lambda x}\right]_{0}^{t} = -e^{-\lambda t} - (-e^{0}) = 1 - e^{-\lambda t}.
Portanto, para t\ge 0,
F(t)=1-e^{-\lambda t}.
Essa fórmula significa: a probabilidade de que a lâmpada tenha vida menor ou igual a t é 1 menos a cauda exponencial e^{-\lambda t}.

Passo 4

Agora use a observação do enunciado: F(100)=P(T\le 100)=0,5. Substituindo na fórmula:
1-e^{-\lambda\cdot 100}=0,5.
Isolando o exponencial:
e^{-\lambda\cdot 100}=1-0,5=0,5.
Tomamos logaritmo natural dos dois lados para resolver em \lambda:
-\lambda\cdot 100 = \ln(0,5).
Como \ln(0,5)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, obtemos
-\lambda\cdot 100 = -\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 2}{100}.
Esse é o valor exato. Em valor decimal (aproximado),
\lambda \approx \frac{0,693147\ldots}{100} \approx 0,00693147\\ (\text{por hora}).
Vou arredondar normalmente para \lambda \approx 0,00693\\ \text{h}^{-1}.

Passo 5

Agora escrevemos a f.d.p. com o valor de \lambda\). Substituindo \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{100}\) na expressão original: \[f(t)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\ln 2}{100}\, e^{-(\ln 2/100)\,t}, & t>0,\\[8pt] 0, & t\le 0. \end{cases}
Se preferir, pode usar a forma numérica (\lambda\approx 0,00693] dentro da expressão.]

Passo 6

Para calcular P(T>200) usamos a função sobrevivência (complemento da FDC):
P(T>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}.
Portanto, com t=200 e \lambda=\dfrac{\ln 2}{100},
P(T>200)=e^{-(\ln 2/100)\cdot 200}=e^{-2\ln 2}.
Usando propriedades de logaritmos e exponenciais, e^{-2\ln 2}=e^{\ln(2^{-2})}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. Em forma decimal isso é 0,25. Intuitivamente: se metade das lâmpadas ultrapassam 100 h, a proporção que ultrapassa o dobro ( 200 h) para uma exponencial é (1/2)^2= 1/4, porque o decaimento é exponencial.

Resposta

(a) \lambda=\dfrac{\ln 2}{100}\approx 0,00693\\ \text{h}^{-1}\) (b) \[f(t)=\begin{cases} \dfrac{\ln 2}{100}\,e^{-(\ln 2/100)\,t}, & t>0,\\[6pt] 0, & t\le 0 \end{cases}
(c) (P(T>200)=\tfrac{1}{4}=0,25]]

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