Exemplo 1: Suponha o experimento: lançar três moedas. Seja X : número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é:
\Omega=\{(c c c),(c c k),(c k c),(c k k),(k c c),(k c k),(k k c),(k k k)\} .
Se X é o número de caras, X assume os valores 0,1,2,3. Podemos associar a esses números eventos que correspondem a nenhuma, uma, duas ou três caras respectivamente, como segue:
X Evento correspondente
0 A 1=\{(k k k)\}
1 A 2=\{(c k k),(k c k),(k k c)\}
2 A 3=\{(c c k),(c k c),(k c c)\}
3 A 4=\{(c c c)\}

Passo 1

O enunciado nos dá o experimento: lançar três moedas e o espaço amostral
\Omega=\{(c c c),(c c k),(c k c),(c k k),(k c c),(k c k),(k k c),(k k k)\}.
Foi definida a variável aleatória X como “número de caras” obtidas no lançamento; portanto X só pode assumir os valores 0,1,2,3. O enunciado também lista os eventos correspondentes a cada valor de X:
\begin{aligned} X=0 &\longleftrightarrow A_1=\{(k k k)\},\\\ X=1 &\longleftrightarrow A_2=\{(c k k),(k c k),(k k c)\},\\\ X=2 &\longleftrightarrow A_3=\{(c c k),(c k c),(k c c)\},\\\ X=3 &\longleftrightarrow A_4=\{(c c c)\}. \end{aligned}
O que tipicamente se pede (e que vou resolver aqui passo a passo) é:
  • confirmar esses eventos e mostrar que formam uma partição de \Omega;
  • calcular a distribuição de probabilidade de X (isto é, P(X=k) para k=0,1,2,3), assumindo moedas justas (cada sequência em \Omega tem mesma probabilidade);
  • (opcional, mas didático) calcular esperança E[X] e variância \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que os conjuntos dados realmente correspondem aos valores de X.
Um elemento de \Omega é uma sequência com três símbolos c (cara) ou k (coroa). A variável X conta quantos c aparecem na sequência. Assim:
  • Se não há caras, só existe a sequência (k k k), logo A_1=\{(k k k)\} corresponde a X=0.
  • Se há exatamente uma cara, as sequências possíveis são as que têm um c em uma das três posições: (c k k),(k c k),(k k c), logo A_2 corresponde a X=1.
  • Se há exatamente duas caras, as sequências possíveis são (c c k),(c k c),(k c c), ou seja A_3 corresponde a X=2.
  • Se há três caras, só (c c c), logo A_4 corresponde a X=3.
Note que os conjuntos A_1,A_2,A_3,A_4 são disjuntos entre si (não têm interseção) e a união deles é todo \Omega. Isso significa que eles formam uma partição de \Omega indexada pelos valores possíveis de X.

Passo 3

Agora vamos calcular as probabilidades de cada sequência em \Omega. Como estamos assumindo moedas justas e independentes, cada lançamento tem probabilidade 1/2 para cara e 1/2 para coroa, e cada sequência de três resultados tem probabilidade
\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{8}.
Portanto cada um dos 8 elementos de \Omega vale 1/8.

Passo 4

Para achar P(X=k) somamos as probabilidades das sequências que pertencem ao evento correspondente. Uma forma sistemática é contar quantas sequências têm exatamente k caras. Esse número é dado pelo coeficiente binomial
\binom{3}{k},
que conta de quantas maneiras podemos escolher k posições (entre 3) para colocar as caras. Vou explicar rapidamente o que significa \binom{3}{k}: é o número de combinações de 3 elementos tomados k a k, e se calcula por
\binom{3}{k}=\frac{3!}{k!(3-k)!},
onde 3!=3\cdot2\cdot1. Para k=0,1,2,3 obtemos respectivamente \binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1 — que bate com as contagens dos conjuntos A_i listados.

Passo 5

Como cada sequência tem probabilidade \tfrac{1}{8} e há \binom{3}{k} sequências com exatamente k caras, a probabilidade de X=k é
P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}}{2^3}=\frac{\binom{3}{k}}{8},\qquad k=0,1,2,3.
Vamos calcular cada uma explicitamente:
\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{3}{0}}{8}=\frac{1}{8},\\[4pt] P(X=1)&=\frac{\binom{3}{1}}{8}=\frac{3}{8},\\[4pt] P(X=2)&=\frac{\binom{3}{2}}{8}=\frac{3}{8},\\[4pt] P(X=3)&=\frac{\binom{3}{3}}{8}=\frac{1}{8}. \end{aligned}]

Passo 6

Verificação rápida: as probabilidades somam 1?
\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1,
perfeito — é uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 7

Agora vamos calcular a esperança E[X]. Definição prática: para variável discreta,
E[X]=\sum_{k} k\,P(X=k).
Aplicando aos nossos valores:
\begin{aligned} E[X]&=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot\frac{1}{8}\\[4pt] &=\frac{0+3+6+3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}. \end{aligned}
Interpretação intuitiva: em média, lançando 3 moedas justas esperamos 1{,}5 caras.]

Passo 8

Para a variância \mathrm{Var}(X) podemos usar a fórmula
\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2,
onde
E[X^2]=\sum_k k^2 P(X=k).
Calculemos E[X^2]:
\begin{aligned} E[X^2]&=0^2\cdot\frac{1}{8}+1^2\cdot\frac{3}{8}+2^2\cdot\frac{3}{8}+3^2\cdot\frac{1}{8}\\[4pt] &=\frac{0+3+12+9}{8}=\frac{24}{8}=3. \end{aligned}
Portanto
\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2=3-\left(\tfrac{3}{2}\right)^2=3-\tfrac{9}{4}=\tfrac{12-9}{4}=\tfrac{3}{4}.
Comentário rápido: isso também bate com a fórmula da distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p), que tem E[X]=np e \mathrm{Var}(X)=np(1-p). Aqui n=3 e p=\tfrac12 dão E[X]=3\cdot\tfrac12=\tfrac{3}{2} e \mathrm{Var}(X)=3\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac{3}{4}.]

Resposta

P(X=0)=\tfrac{1}{8}
P(X=1)=\tfrac{3}{8}
P(X=2)=\tfrac{3}{8}
P(X=3)=\tfrac{1}{8}
E[X]=\tfrac{3}{2}
\mathrm{Var}(X)=\tfrac{3}{4}

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