Exemplo 1: Suponha o experimento: lançar três moedas. Seja
: número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é:
Se
é o número de caras,
assume os valores
. Podemos associar a esses números eventos que correspondem a nenhuma, uma, duas ou três caras respectivamente, como segue:
Evento correspondente
0
1
2
3
|
|
Evento correspondente |
| 0 |
|
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
Passo 1
O enunciado nos dá o experimento: lançar três moedas e o espaço amostral
Foi definida a variável aleatória
como “número de caras” obtidas no lançamento; portanto
só pode assumir os valores
. O enunciado também lista os eventos correspondentes a cada valor de
:
O que tipicamente se pede (e que vou resolver aqui passo a passo) é:
- confirmar esses eventos e mostrar que formam uma partição de
; - calcular a distribuição de probabilidade de
(isto é, para ), assumindo moedas justas (cada sequência em tem mesma probabilidade); - (opcional, mas didático) calcular esperança
e variância .
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que os conjuntos dados realmente correspondem aos valores de
.
Um elemento de
é uma sequência com três símbolos
(cara) ou
(coroa). A variável
conta quantos
aparecem na sequência. Assim:
- Se não há caras, só existe a sequência
, logo corresponde a . - Se há exatamente uma cara, as sequências possíveis são as que têm um
em uma das três posições: , logo corresponde a . - Se há exatamente duas caras, as sequências possíveis são
, ou seja corresponde a . - Se há três caras, só
, logo corresponde a .
Note que os conjuntos
são disjuntos entre si (não têm interseção) e a união deles é todo
. Isso significa que eles formam uma partição de
indexada pelos valores possíveis de
.
Passo 3
Agora vamos calcular as probabilidades de cada sequência em
. Como estamos assumindo moedas justas e independentes, cada lançamento tem probabilidade
para cara e
para coroa, e cada sequência de três resultados tem probabilidade
Portanto cada um dos 8 elementos de
vale
.
Passo 4
Para achar
somamos as probabilidades das sequências que pertencem ao evento correspondente. Uma forma sistemática é contar quantas sequências têm exatamente
caras. Esse número é dado pelo coeficiente binomial
que conta de quantas maneiras podemos escolher
posições (entre 3) para colocar as caras. Vou explicar rapidamente o que significa
: é o número de combinações de 3 elementos tomados
a
, e se calcula por
onde
. Para
obtemos respectivamente
,
,
,
— que bate com as contagens dos conjuntos
listados.
Passo 5
Como cada sequência tem probabilidade
e há
sequências com exatamente
caras, a probabilidade de
é
Vamos calcular cada uma explicitamente:
Passo 6
Verificação rápida: as probabilidades somam 1?
perfeito — é uma distribuição de probabilidade válida.
Passo 7
Agora vamos calcular a esperança
. Definição prática: para variável discreta,
Aplicando aos nossos valores:
Interpretação intuitiva: em média, lançando 3 moedas justas esperamos
caras.]
Passo 8
Para a variância
podemos usar a fórmula
onde
Calculemos
:
Portanto
Comentário rápido: isso também bate com a fórmula da distribuição binomial
, que tem
e
. Aqui
e
dão
e
.]