Exemplo 6: Um fabricante de televisão a cores oferece uma garantia de 1 ano para substituição gratuita se o tubo de imagem falhar. Ele estima o tempo de falha (em unidades de anos), x, como uma variável aleatória contínua com a seguinte fdp
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{rc} \frac{1}{4} e^{-x / 4}, & \text { se } x>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário } . \end{array}\right.á
Qual a probabilidade de você comprar a televisão e necessitar de uma substituição gratuita?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de você comprar a televisão e necessitar de uma substituição gratuita?”
Informações dadas:
  • A variável aleatória que representa o tempo até a falha é X (em anos).
  • A função densidade de probabilidade (fdp) é
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{rc} \frac{1}{4} e^{-x / 4}, & \text{se } x>0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
  • A garantia cobre substituição gratuita se o tubo falhar dentro de 1 ano (ou seja, se X\le 1).]

Passo 2

O que precisamos calcular é a probabilidade de falha dentro de 1 ano, isto é P(X\le 1). Para uma variável contínua com fdp f_X(x), a probabilidade de X cair num intervalo [a,b] é dada por
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f_X(x)\,dx.
Como a fdp é zero para x\le 0 e positiva para x>0, temos
P(X\le 1)=\int_{0}^{1} f_X(x)\,dx.
Isso explica por que vamos integrar de 0 até 1: estamos somando as probabilidades infinitesimais de falha ocorrendo em cada ponto entre 0 e 1 ano.

Passo 3

Reconhecendo a forma da fdp: f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x>0 é a fdp da distribuição exponencial com parâmetro \lambda. Comparando com a fdp dada,
\frac{1}{4}e^{-x/4}=\lambda e^{-\lambda x},
vemos que \lambda=\frac{1}{4}. A função distribuição acumulada (CDF) da exponencial é
F_X(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x},
para x\ge 0. Vou usar isso como atalho alternativo para calcular P(X\le 1), mas também mostro a integral explícita no próximo passo.

Passo 4

Calculando por integral explicitamente:
P(X\le 1)=\int_{0}^{1}\frac{1}{4}e^{-x/4}\,dx.
Encontramos uma primitiva (antiderivada) de \frac{1}{4}e^{-x/4}. Note que
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x/4}\bigr)=\bigl(-1\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)e^{-x/4}=\frac{1}{4}e^{-x/4},
logo uma primitiva é -e^{-x/4}. Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{4}e^{-x/4}\,dx=\bigl[-e^{-x/4}\bigr]_{0}^{1}=-e^{-1/4}-\bigl(-e^{0}\bigr)=1-e^{-1/4}.
Esse resultado coincide com usar a CDF da exponencial F_X(1)=1-e^{-(1)/4}.

Passo 5

Vamos dar um valor numérico para interpretar melhor. Calculando e^{-1/4}:
e^{-1/4}\approx 0,7788007831,
portanto
P(X\le 1)=1-e^{-1/4}\approx 0,2211992169.
Em palavras: cerca de 22{,}12\% de chance da televisão falhar dentro de 1 ano e você precisar da substituição gratuita.

Passo 6

Resumo do raciocínio prático para a prova: ao reconhecer a fdp como exponencial com \lambda=\tfrac{1}{4}, você pode usar diretamente P(X\le 1)=1-e^{-\lambda\cdot 1}. Se preferir, faça a integral \int_{0}^{1}\frac{1}{4}e^{-x/4}dx e calcule a primitiva. Ambas as formas dão a mesma resposta. Vai dar tudo certo — respira e pratica mais um exercício desse tipo!

Resposta

1-e^{-1/4}\approx 0,2211992169

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