Dê exemplo de três vetores unitários simultaneamente ortogonais. Você tem que mostrar que eles são realmente unitários e ortogonais entre si.

Passo 1

O enunciado pede três vetores unitários (ou seja, com norma igual a 1) que sejam ortogonais entre si (ou seja, o produto escalar de cada par deve ser zero). O conteúdo que vamos usar é o conceito de norma em R^3 e o produto escalar.

Passo 2

Escolhemos os vetores canônicos de R^3:
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)

Passo 3

Mostramos que cada um é unitário, ou seja, tem norma igual a 1. Por definição, para ei=(x,y,z) a norma é |ei|=raizx^2+y^2+z^2.
Para e1:
|e1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
De modo análogo,
|e2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1, |e3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1

Passo 4

Agora verificamos a ortogonalidade pelo produto escalar ucdotv=uxvx+uyvy+uzvz.
e1cdote2 = 1cdot0 + 0cdot1 + 0cdot0 = 0,
e1cdote3 = 1cdot0 + 0cdot0 + 0cdot1 = 0,
e2cdote3 = 0cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 = 0
Como todos os produtos escalares entre vetores distintos são zero, eles são mutuamente ortogonais.

Resposta

e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1).

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