Deduza uma equação da elipse
a) de focos
e
e eixo maior 4 ;
b) de focos
e
e eixo maior
.
a) de focos
b) de focos
Passo 1
O enunciado pede as equações de duas elipses dadas pelos focos e pelo comprimento do eixo maior. Vamos usar a definição de elipse: soma das distâncias a dois focos é constante e igual a
. Se a distância entre os focos é
, então
satisfaz
Se os focos estiverem alinhados com os eixos coordenados, usamos a forma canônica. Caso contrário, fazemos rotação de eixos para alinhar o eixo maior à reta que une os focos.
Passo 2
Para a parte (a) temos
Focos e
.
O centro é o ponto médio: .
A distância entre os focos é
Focos
O centro é o ponto médio:
A distância entre os focos é
logo
.
O eixo maior vale , portanto
.
Calculamos
O eixo maior vale
Calculamos
Como os focos estão no eixo
, a forma canônica é
Passo 3
Para a parte (b) temos
Focos e
.
O centro também é .
A distância entre os focos é
Focos
O centro também é
A distância entre os focos é
logo
.
O eixo maior vale , então
.
Assim
O eixo maior vale
Assim
O eixo maior está ao longo da reta
, de inclinação
. Definimos coordenadas rotacionadas
de modo que a equação em
é
Substituindo e simplificando obtemos
Resposta
(a)
(b)