Deduza uma equação da elipse
a) de focos F1(0,-1) e F2(0,1) e eixo maior 4 ;
b) de focos F1(-1,-1) e F2(1,1) e eixo maior 4 raiz2.

Passo 1

O enunciado pede as equações de duas elipses dadas pelos focos e pelo comprimento do eixo maior. Vamos usar a definição de elipse: soma das distâncias a dois focos é constante e igual a 2a. Se a distância entre os focos é 2c, então b satisfaz
b^2 = a^2 - c^2
Se os focos estiverem alinhados com os eixos coordenados, usamos a forma canônica. Caso contrário, fazemos rotação de eixos para alinhar o eixo maior à reta que une os focos.

Passo 2

Para a parte (a) temos
Focos F1(0,-1) e F2(0,1).
O centro é o ponto médio: C=(0,0).
A distância entre os focos é
raiz(0-0)^2 + (1-(-1))^2 = 2,
logo c = 1.
O eixo maior vale 2a = 4, portanto a = 2.
Calculamos
b^2 = a^2 - c^2 = 2^2 - 1^2 = 3
Como os focos estão no eixo y, a forma canônica é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1Longrightarrowx^23 + y^24 = 1

Passo 3

Para a parte (b) temos
Focos F1(-1,-1) e F2(1,1).
O centro também é C=(0,0).
A distância entre os focos é
raiz(1-(-1))^2 + (1-(-1))^2 = 2raiz2,
logo c = raiz2.
O eixo maior vale 2a = 4raiz2, então a = 2raiz2.
Assim
b^2 = a^2 - c^2 = (2raiz2)^2 - (raiz2)^2 = 8 - 2 = 6
O eixo maior está ao longo da reta y = x, de inclinação 45^circ. Definimos coordenadas rotacionadas
u = x+yraiz2, v = y - xraiz2
de modo que a equação em (u,v) é
u^2a^2 + v^2b^2 = 1
Substituindo e simplificando obtemos
l(tfracx+yraiz2r)^2(2raiz2)^2 +l(tfracy-xraiz2r)^26 =1 ;Longrightarrow; (x+y)^216 + (x-y)^212 = 1

Resposta

(a)
x^23 + y^24 = 1
(b)
(x+y)^216 + (x-y)^212 = 1

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