Exemplo 6. Verifique que
são soluções da EDO linear de segunda ordem
.
Passo 1
Enunciado e dados (o que é pedido):
- A equação diferencial é
- As funções dadas para verificar são
onde e são constantes arbitrárias. - O pedido é: verificar que cada uma dessas funções é uma solução da EDO, ou seja, ao substituí-las na equação devemos obter uma identidade verdadeira (igual a zero) para todo
do domínio.
Passo 2
O que significa “ser solução” e uma ideia útil (operador linear):
- Definição prática: uma função
é solução de se, ao calcular , o resultado for para todo (identidade). - Notação/ideia útil: defina o operador linear
- Linearidade significa que, para quaisquer funções
e quaisquer constantes , vale - Isso é fácil de verificar pela propriedade das derivadas (derivada de soma é soma de derivadas, derivada de constante vezes função é constante vezes derivada).
- Linearidade significa que, para quaisquer funções
- Consequência prática: se
e , então qualquer combinação linear também satisfaz . Essa é a propriedade de superposição para EDOs lineares homogêneas.
Passo 3
Verificação direta para
:
- Calcule as derivadas:
- Substitua em
: - Conclusão:
satisfaz a equação e, portanto, é solução.
Passo 4
Verificação direta para
:
- Calcule as derivadas:
- Substitua em
: - Conclusão:
também é solução.
Passo 5
Verificação para
e
(constantes multiplicativas):
- Use que constantes fatoram fora da derivada.
- Para
:
- Para
:
- Conclusão: multiplicar uma solução por constante ainda dá solução (consistente com linearidade).
Passo 6
Verificação para
(combinação linear):
- Pela linearidade do operador
: - Já mostramos que
e . Logo - Alternativamente, calculando derivadas diretamente:
- Conclusão:
é solução para quaisquer constantes .
Passo 7
Comentário didático final (para ajudar na prova):
- A ideia-chave é: verificar solução significa substituir e obter zero; constantes fatoram; soma de soluções é solução por linearidade.
- Observação extra (útil em provas): as funções
e são duas soluções independentes (se necessário mostrar independência, calcula-se o Wronskiano ), então a combinação linear fornece a família geral de soluções da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Resposta
Sim.
,
,
,
e
são soluções da equação
.