Exemplo 6. Verifique que
y=e^{x}, \quad y=e^{-x}, \quad y=c_{1} e^{x}, \quad y=c_{2} e^{-x} \quad e \quad y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}
são soluções da EDO linear de segunda ordem y^{\prime \prime}-y=0.

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido):
  • A equação diferencial é y''-y=0.
  • As funções dadas para verificar são y=e^{x},\quad y=e^{-x},\quad y=c_{1}e^{x},\quad y=c_{2}e^{-x},\quad\text{e}\quad y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}, onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias.
  • O pedido é: verificar que cada uma dessas funções é uma solução da EDO, ou seja, ao substituí-las na equação devemos obter uma identidade verdadeira (igual a zero) para todo x do domínio.

Passo 2

O que significa “ser solução” e uma ideia útil (operador linear):
  • Definição prática: uma função y(x) é solução de y''-y=0 se, ao calcular y''(x)-y(x), o resultado for 0 para todo x (identidade).
  • Notação/ideia útil: defina o operador linear L[y]=y''-y.
    • Linearidade significa que, para quaisquer funções y_{1},y_{2} e quaisquer constantes a,b, vale L[ay_{1}+by_{2}]=a\,L[y_{1}]+b\,L[y_{2}].
    • Isso é fácil de verificar pela propriedade das derivadas (derivada de soma é soma de derivadas, derivada de constante vezes função é constante vezes derivada).
  • Consequência prática: se L[y_{1}]=0 e L[y_{2}]=0, então qualquer combinação linear a y_{1}+b y_{2} também satisfaz L[a y_{1}+b y_{2}]=0. Essa é a propriedade de superposição para EDOs lineares homogêneas.

Passo 3

Verificação direta para y=e^{x}:
  • Calcule as derivadas: y=e^{x}
y'=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
y''=\frac{d}{dx}y'=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Substitua em y''-y: y''-y=e^{x}-e^{x}=0.
  • Conclusão: y=e^{x} satisfaz a equação e, portanto, é solução.

Passo 4

Verificação direta para y=e^{-x}:
  • Calcule as derivadas: y=e^{-x}
y'=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}
y''=\frac{d}{dx}y'=\frac{d}{dx}(-e^{-x})=+e^{-x}.
  • Substitua em y''-y: y''-y=e^{-x}-e^{-x}=0.
  • Conclusão: y=e^{-x} também é solução.

Passo 5

Verificação para y=c_{1}e^{x} e y=c_{2}e^{-x} (constantes multiplicativas):
  • Use que constantes fatoram fora da derivada.
  • Para y=c_{1}e^{x}: y' = c_{1}e^{x},\qquad y''=c_{1}e^{x}.
y''-y=c_{1}e^{x}-c_{1}e^{x}=c_{1}(e^{x}-e^{x})=c_{1}\cdot 0=0.
  • Para y=c_{2}e^{-x}: y' = -c_{2}e^{-x},\qquad y''=c_{2}e^{-x}.
y''-y=c_{2}e^{-x}-c_{2}e^{-x}=c_{2}(e^{-x}-e^{-x})=0.
  • Conclusão: multiplicar uma solução por constante ainda dá solução (consistente com linearidade).

Passo 6

Verificação para y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} (combinação linear):
  • Pela linearidade do operador L: L[c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}]=c_{1}L[e^{x}]+c_{2}L[e^{-x}].
  • Já mostramos que L[e^{x}]=0 e L[e^{-x}]=0. Logo L[c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}]=c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 =0.
  • Alternativamente, calculando derivadas diretamente: y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}
y' = c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}
y''= c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}
y''-y=(c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x})-(c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x})=0.
  • Conclusão: y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} é solução para quaisquer constantes c_{1},c_{2}.

Passo 7

Comentário didático final (para ajudar na prova):
  • A ideia-chave é: verificar solução significa substituir e obter zero; constantes fatoram; soma de soluções é solução por linearidade.
  • Observação extra (útil em provas): as funções e^{x} e e^{-x} são duas soluções independentes (se necessário mostrar independência, calcula-se o Wronskiano \;W(e^{x},e^{-x})(x)=-2\neq0), então a combinação linear \;c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}\; fornece a família geral de soluções da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Resposta

Sim. y=e^{x}, y=e^{-x}, y=c_{1}e^{x}, y=c_{2}e^{-x} e y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} são soluções da equação \;y''-y=0\;.

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