Prove que o segmento ligando um vértice de um polígono regular ao centro do círculo em que ele está inscrito é bissetriz do ângulo daquele vértice.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pede: provar que o segmento que liga um vértice de um polígono regular ao centro do círculo em que ele está inscrito é a bissetriz do ângulo desse vértice.
- Dados (assumidos pelo enunciado):
- Existe um polígono regular inscrito em um círculo; seja
o centro desse círculo. - Seja
um vértice do polígono e sejam e os vértices imediatamente adjacentes a (ou seja, , , são três vértices consecutivos). - Por ser um polígono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os vértices estão sobre o círculo de centro
.
- Existe um polígono regular inscrito em um círculo; seja
Passo 2
Entendendo as propriedades que vamos usar (explicadinho, sem pular etapas):
- “Polígono regular” significa que todos os lados têm o mesmo comprimento. Assim, temos a igualdade de comprimentos
Isso vem diretamente da definição: tem dois lados que o ligam a e a , e em polígono regular esses lados são iguais. - Os vértices estão sobre um mesmo círculo de centro
. Logo, as distâncias do centro a qualquer vértice são iguais (são todos raios do mesmo círculo). Assim Vou usar essas igualdades para comparar triângulos.
Passo 3
Formulo os dois triângulos relevantes e listo as igualdades de lados:
- Considere os triângulos
e . - Observe três pares de lados correspondentes:
-
(lado comum). -
(ambos são raios do círculo). -
(lados consecutivos do polígono regular).
-
- Assim, os três pares de lados correspondentes dos dois triângulos são iguais:
Passo 4
Uso do critério de congruência LLL (SSS) e sua implicação:
- Teorema (LLL/SSS): se, em dois triângulos, os três pares de lados correspondentes são iguais, então os triângulos são congruentes (iguais por uma isometria). Intuição rápida: três comprimentos fixam um triângulo de forma rígida; não há outra forma de montar os lados.
- Aplicando o LLL aos triângulos
e , concluímos que eles são congruentes. - Consequência importante: ângulos correspondentes em triângulos congruentes são iguais. Portanto
Passo 5
Concluindo que
bisseta o ângulo do vértice:
- O ângulo do vértice em questão é
. Esse ângulo se decompõe em - Como mostramos que
(note que é o mesmo que ), as duas partes são iguais. Logo divide em duas partes congruentes. - Portanto
é a bissetriz do ângulo .
Passo 6
Comentário curto e alternativa (para fixar a ideia):
- Alternativa por simetria: um polígono regular admite rotação em torno de
que leva em e preserva na sua posição relativa; essa rotação mostra que os dois ramos do ângulo em são simétricos em relação a , o que também implica que é bissetriz. Essa é a mesma ideia, vista pela simetria do polígono. - Resumindo: pela congruência dos triângulos ou pela simetria do polígono regular, o segmento do vértice ao centro corta o ângulo do vértice em duas partes iguais.
Resposta
O segmento
é a bissetriz do ângulo
.